Um conjunto de partículas se move no espaço vazio e sem interação com uma determinda energia total: um fóton de 3 eV , um elétron de 1,25 \mathrm{MeV} e um próton de 1,1 \mathrm{GeV}. Dado m_{e} \sim 0,5 M e V / c^{2} e m_{p}=938 M e V / c^{2}. Qual partícula possui maior momento linear? Justifique. (Resp: próton)

Passo 1

O enunciado dá três partículas livres no vácuo com energias totais conhecidas: um fóton de 3\,\mathrm{eV}, um elétron de 1{,}25\,\mathrm{MeV} e um próton de 1{,}1\,\mathrm{GeV}. São fornecidos os repousos m_{e}c^{2}\sim0{,}5\,\mathrm{MeV} e m_{p}c^{2}=938\,\mathrm{MeV}. Precisamos calcular o momento linear de cada partícula e comparar. Para o fóton usamos
p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c},
e para as partículas massivas usamos a relação relativística
p=\frac{\sqrt{E^{2}-(mc^{2})^{2}}}{c}.

Passo 2

Para o fóton:
E_\gamma=3\,\mathrm{eV}=3\times10^{-6}\,\mathrm{MeV},
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p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c} =\frac{3\times10^{-6}\,\mathrm{MeV}}{c} \approx3\times10^{-6}\,\frac{\mathrm{MeV}}{c}.

Passo 3

Para o elétron:
E_{e}=1{,}25\,\mathrm{MeV},\quad m_{e}c^{2}=0{,}5\,\mathrm{MeV}.
Aplicando
p_{e}=\frac{\sqrt{E_{e}^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}}}{c} =\frac{\sqrt{(1{,}25)^{2}-(0{,}5)^{2}}}{c}\,\mathrm{MeV} =\frac{\sqrt{1{,}5625-0{,}25}}{c}\,\mathrm{MeV} =\frac{\sqrt{1{,}3125}}{c}\,\mathrm{MeV} \approx1{,}15\,\frac{\mathrm{MeV}}{c}.

Passo 4

Para o próton:
E_{p}=1{,}1\,\mathrm{GeV}=1100\,\mathrm{MeV},\quad m_{p}c^{2}=938\,\mathrm{MeV}.
Então
p_{p}=\frac{\sqrt{E_{p}^{2}-(m_{p}c^{2})^{2}}}{c} =\frac{\sqrt{1100^{2}-938^{2}}}{c}\,\mathrm{MeV} =\frac{\sqrt{1\,210\,000-879\,844}}{c}\,\mathrm{MeV} =\frac{\sqrt{330\,156}}{c}\,\mathrm{MeV} \approx574{,}8\,\frac{\mathrm{MeV}}{c}.

Passo 5

Comparando os valores:
p_\gamma\sim3\times10^{-6}\,\frac{\mathrm{MeV}}{c} \ll p_{e}\sim1{,}15\,\frac{\mathrm{MeV}}{c} \ll p_{p}\sim574{,}8\,\frac{\mathrm{MeV}}{c}.
Logo o próton é quem tem o maior momento linear.

Resposta

O próton possui o maior momento linear.

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