Questăo 1 ( \mathbf{3 . 5} pt): O número de elétrons por unidade de volume em uma amostra de Si (ślico), de comprimento \ell e área da seção reta \mathcal{A}, em temperatura ambiente ( @ 300 \mathrm{~K} ) é igual a N_{e}= 1,5 \times 10^{10} \mathrm{~cm}^{-3} e a mobilidade dos portadores é igual a \mu_{e}=1350 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{V} \mathrm{s}. Determine: a) a condutividade da amostra \mathrm{em} S / \mathrm{cm} a temperatura ambiente; b) a condutividade da amostra para temperatura de 400 K , dado que nessas condiçōes N_{e}=1,5 \times 10^{12} \mathrm{~cm}^{-3} e \mu_{e}= 1350 \mathrm{~cm}^{2} / V \mathrm{~s} ; \mathrm{c} ) a resistência da amostra em \Omega, dado que \ell=1 \mathrm{~cm} e \mathcal{A}=0,1 \mathrm{~cm}^{2}; d) a resistência da a amostra em \Omega para temperatura de 400 K ; e) compare os resultados obtidos nos itens c) e d).

Passo 1

O enunciado fornece o número de portadores de carga (elétrons) N_{e} e a mobilidade \mu_{e} em duas temperaturas, além das dimensões da amostra ( \ell e \mathcal{A}). Para resolver, usaremos:
A condutividade elétrica de um semicondutor
\sigma = q\,N_{e}\,\mu_{e}
onde q=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
A resistência elétrica de um condutor
R = \rho\,\frac{\ell}{\mathcal{A}}
com a resistividade \rho = 1/\sigma.

Passo 2

Para (a), em 300\,\mathrm{K} temos N_{e}=1{,}5\times10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3} e \mu_{e}=1350\,\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{V}\mathrm{s}. Logo,
\sigma_{300\,\mathrm{K}} = q\,N_{e}\,\mu_{e} =(1{,}6\times10^{-19})(1{,}5\times10^{10})(1350) =3{,}24\times10^{-6}\,\mathrm{S/cm}.

Passo 3

Para (b), em 400\,\mathrm{K} temos N_{e}=1{,}5\times10^{12}\,\mathrm{cm}^{-3} e mesmo \mu_{e}=1350\,\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{V}\mathrm{s}. Assim,
\sigma_{400\,\mathrm{K}} = (1{,}6\times10^{-19})(1{,}5\times10^{12})(1350) =3{,}24\times10^{-4}\,\mathrm{S/cm}.

Passo 4

Para (c) e (d), usamos
R = \frac{\ell}{\sigma\,\mathcal{A}}
com \ell=1\,\mathrm{cm} e \mathcal{A}=0{,}1\,\mathrm{cm}^{2}.
Em 300\,\mathrm{K}:
R_{300\,\mathrm{K}} =\frac{1}{(3{,}24\times10^{-6})(0{,}1)} =3{,}09\times10^{6}\,\mathrm{\Omega}.
Em 400\,\mathrm{K}:
R_{400\,\mathrm{K}} =\frac{1}{(3{,}24\times10^{-4})(0{,}1)} =3{,}09\times10^{4}\,\mathrm{\Omega}.

Passo 5

Comparando os resultados de (c) e (d), vemos que
R_{400\,\mathrm{K}} = \frac{1}{100}\,R_{300\,\mathrm{K}},
ou seja, a resistência caiu cem vezes ao elevar a temperatura de 300 K para 400 K, devido ao aumento da densidade de portadores.

Resposta

(a) \sigma_{300\,\mathrm{K}}=3{,}24\times10^{-6}\,\mathrm{S/cm}.
(b) \sigma_{400\,\mathrm{K}}=3{,}24\times10^{-4}\,\mathrm{S/cm}.
(c) R_{300\,\mathrm{K}}=3{,}09\times10^{6}\,\mathrm{\Omega}.
(d) R_{400\,\mathrm{K}}=3{,}09\times10^{4}\,\mathrm{\Omega}.
(e) A resistência em 400 K é 100 vezes menor do que em 300 K.

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