Um trem hipotético se locomove sobre um trilho reto e infinito se distanciando com velocidade igual à 0,9 \mathrm{c} em relação à um observador parado no referencial do trilho. Um experimento no trem envia um sinal luminoso em direção a estação. A estação capta a cada 3 horas um sinal luminoso, qual o tempo entre os sinais luminosos no referencial do trem.

Passo 1

O trem se afasta da estação com rapidez v=0{,}9c. A estação capta pulsos de luz a cada \Delta t=3 horas. Queremos o intervalo de emissão \Delta \tau medido no referencial do trem. O conteúdo usado será o efeito Doppler longitudinal relativístico.

Passo 2

Para um emissor que se afasta do observador, a relação entre o intervalo de recepção \Delta t no referencial da estação e o intervalo de emissão \Delta \tau no trem é
\Delta t \;=\;\Delta \tau\;\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
onde \beta=v/c.

Passo 3

Isolando \Delta \tau na fórmula acima, obtemos
\Delta \tau \;=\;\Delta t\;\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.

Passo 4

Substituindo \beta=0{,}9 e \Delta t=3 h:
\sqrt{\frac{1-0{,}9}{1+0{,}9}} =\sqrt{\frac{0{,}1}{1{,}9}}\approx0{,}2294,
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\Delta \tau = 3\,\mathrm{h}\times0{,}2294\approx0{,}688\,\mathrm{h}.

Passo 5

Convertendo horas em minutos:
0{,}688\,\mathrm{h}\times60\,\frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}}\approx41{,}3\,\mathrm{min}.

Resposta

No referencial do trem, o tempo entre os sinais é aproximadamente 0{,}69 horas (cerca de 41,3 minutos).

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