O conjunto solução da inequação 3 x-2x-3 <= 1 é S=x in R / a <= x valor de |ba| é:
A) 32
B) 52
C) 3
D) 5
E) 6

Passo 1

Resumo da questão: Temos a inequação 3x - 2x - 3 <= 1. Nosso objetivo é encontrar os valores de x que satisfazem essa condição, ou seja, determinar o conjunto solução S = x in R mid a <= x < b. Depois, precisamos calcular o valor de |ba|. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de resolução de inequações racionais e análise de sinais.

Passo 2

Isolando a inequação: Primeiro, vamos trazer o termo 1 para o lado esquerdo da inequação para simplificar a expressão:
3x - 2x - 3 - 1 <= 0

Passo 3

Unificando os termos: Para subtrair 1 da fração, precisamos que ambas as expressões tenham o mesmo denominador. Fazemos isso da seguinte maneira:
3x - 2x - 3 - x - 3x - 3 <= 0
Simplificando o numerador:
3x - 2 - (x - 3)x - 3 <= 0 3x - 2 - x + 3x - 3 <= 0 2x + 1x - 3 <= 0

Passo 4

Encontrando os pontos críticos: Para resolver a inequação 2x + 1x - 3 <= 0, precisamos identificar os valores de x que tornam o numerador ou o denominador zero, pois são esses pontos que vão dividir a reta numérica em intervalos para analisarmos:
  • Numerador igual a zero:
    2x + 1 = 0 2x = -1 x = -12
  • Denominador igual a zero:
    x - 3 = 0 x = 3
Portanto, os pontos críticos são x = -12 e x = 3.

Passo 5

Análise dos sinais: Vamos dividir a reta numérica nesses pontos críticos e analisar o sinal da fração em cada intervalo:
  1. Intervalo x < -12:
    Escolhendo x = -1:
    2(-1) + 1-1 - 3 = -2 + 1-4 = -1-4 = 14 > 0
  2. Intervalo -12 < x < 3:
    Escolhendo x = 0:
    2(0) + 10 - 3 = 1-3 = -13 < 0
  3. Intervalo x > 3:
    Escolhendo x = 4:
    2(4) + 14 - 3 = 8 + 11 = 9 > 0

Passo 6

Definindo o conjunto solução: A inequação 2x + 1x - 3 <= 0 é satisfeita quando a fração é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
  • No intervalo x < -12, a fração é positiva.
  • No intervalo -12 < x < 3, a fração é negativa.
  • No intervalo x > 3, a fração é positiva.
Além disso, em x = -12, a fração é igual a zero, o que também satisfaz a inequação. Porém, em x = 3, a fração não está definida.
Portanto, o conjunto solução é:
S = x in R mid -12 <= x < 3
Ou seja, a = -12 e b = 3.

Passo 7

Calculando |ba|:
Substituindo os valores de a e b:
| 3-12 | = | -6 | = 6

Resposta

E) 6

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