Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim (x, y) (0,0) xx+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em
(0,0), o que envolve o conteúdo de limites em ℝ² e exige verificar se o valor da expressão é o mesmo em todas as trajetórias de aproximação até (0,0).

Passo 2

Para limites em duas variáveis, um método comum é testar caminhos distintos. Vamos aproximar (x,y)→(0,0) pela reta y = kx, onde k é constante. Substituindo na expressão obtemos:

Passo 3

[
\frac{x}{x+y} = \frac{x}{x + kx} = \frac{1}{1 + k}.
]

Passo 4

Vemos que o valor limite depende de k: por exemplo, se k=0, o limite é 1; se k=1, o limite é 1/2. Como há dependência do caminho escolhido, não há um único valor de limite.

Resposta

O limite não existe.

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