Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em
(0,0), o que envolve o conteúdo de limites em ℝ² e exige verificar se o valor da expressão é o mesmo em todas as trajetórias de aproximação até (0,0).
(0,0), o que envolve o conteúdo de limites em ℝ² e exige verificar se o valor da expressão é o mesmo em todas as trajetórias de aproximação até (0,0).
Passo 2
Para limites em duas variáveis, um método comum é testar caminhos distintos. Vamos aproximar (x,y)→(0,0) pela reta y = kx, onde k é constante. Substituindo na expressão obtemos:
Passo 3
[
\frac{x}{x+y} = \frac{x}{x + kx} = \frac{1}{1 + k}.
]
\frac{x}{x+y} = \frac{x}{x + kx} = \frac{1}{1 + k}.
]
Passo 4
Vemos que o valor limite depende de k: por exemplo, se k=0, o limite é 1; se k=1, o limite é 1/2. Como há dependência do caminho escolhido, não há um único valor de limite.
Resposta
O limite não existe.