Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim (x, y) (0,0) 1-e^-(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em ℝ², e vamos precisar de um artifício que torne o problema equivalente a um limite de uma única variável.

Passo 2

Note que a expressão só depende de r² = x² + y². Definindo u = x² + y², temos u→0 quando (x,y)→(0,0) e a função vira (1–e^{-u})/u. Para estudar isso, usamos a expansão em série de Taylor da exponencial em torno de zero:

Passo 3

Expondo em série temos
e^-u = 1 - u + u^22 - cdots
Então
1 - e^-u = u - u^22 + o(u^2)
e dividindo por u dá
1 - e^-uu = 1 - u2 + o(u)
que, ao fazermos u→0, tende a 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados