Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em ℝ², e vamos precisar de um artifício que torne o problema equivalente a um limite de uma única variável.
Passo 2
Note que a expressão só depende de r² = x² + y². Definindo u = x² + y², temos u→0 quando (x,y)→(0,0) e a função vira (1–e^{-u})/u. Para estudar isso, usamos a expansão em série de Taylor da exponencial em torno de zero:
Passo 3
Expondo em série temos
Então
e dividindo por u dá
que, ao fazermos u→0, tende a 1.
Resposta
1