A inequação
, no intervalo
e x real, possui conjunto solução
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação
no intervalo
.
Informações dadas importantes: é uma desigualdade envolvendo funções trigonométricas; o domínio considerado é
. O enunciado fornece quatro alternativas de intervalo para escolher.
Informações dadas importantes:
Passo 2
Entendimento da desigualdade em termos de sinais: quando temos um produto de duas quantidades
, isso significa que ou (i) uma das quantidades é zero, ou (ii) as quantidades têm sinais opostos (uma positiva e outra negativa). Aqui
e
. Logo precisamos encontrar todos os
onde pelo menos um dos fatores é zero ou onde
e
têm sinais opostos.
Passo 3
Primeiro passo prático: achar os pontos onde cada fator é zero (esses pontos certamente satisfazem a desigualdade, porque o produto será zero). Sabemos que:
Esses cinco pontos (alguns coincidentes na fronteira) particionam o intervalo
em subintervalos nos quais os sinais da seno e cosseno são constantes.
Passo 4
Vamos dividir
nas quatro “quadrantes” mais usados:
Em cada um desses intervalos o sinal de
e de
é fixo. Vou analisar cada caso separadamente, e sempre tratar os pontos onde algum fator é zero (eles serão incluídos na solução porque a desigualdade é
).
Passo 5
Análise em
:
- Para esses
temos e . - Produto:
.
Portanto, nenhum ponto interior desse intervalo satisfaz a desigualdade. Porém, no pontotemos , então satisfaz . No ponto temos , então também satisfaz.
Passo 6
Análise em
:
- Aqui
e . - Produto:
.
Assim, todo o intervalo abertosatisfaz a desigualdade. Como vimos, os extremos e também satisfazem (zeros dos fatores), então o conjunto que satisfaz nesta região é o intervalo fechado .
Passo 7
Análise em
:
- Aqui
e . - Produto:
.
Portanto, os pontos interiores desse intervalo não satisfazem a desigualdade. Os extremose são zeros de seno e cosseno, respectivamente, e por isso satisfazem a desigualdade; já foi incluído no intervalo anterior .
Passo 8
Análise em
:
- Aqui
e . - Produto:
.
Logo todo o intervalo abertosatisfaz a desigualdade. Como e são zeros (de e de , respectivamente), eles também satisfazem, e a região que satisfaz aqui é o intervalo fechado .
Passo 9
Juntando tudo: os pontos e intervalos que satisfazem
em
são
Explicação rápida alternativa (útil na prova): usar a identidade
. A inequação vira
. Resolver
em
leva aos mesmos blocos de solução acima; atenção apenas ao ponto isolado
(onde
), que deve ser incluído.
Passo 10
Comparando com as alternativas dadas: a alternativa (a) propõe
. Isso coincide com nossa solução, exceto que precisamos lembrar do ponto
(onde o produto é zero). Como as alternativas listadas são mutuamente excludentes e apenas a (a) apresenta os dois intervalos principais corretos, a alternativa (a) é a que corresponde à solução principal indicada nas opções.
Resposta
(a)