A inequação \operatorname{sen}(x) \cos (x) \leq 0, no intervalo [0,2 \pi] e x real, possui conjunto solução
a) \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \cup\left[\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right]
b) \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]
c) \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup\left[\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]
d) \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right] \cup\left[\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação \operatorname{sen}(x)\cos(x)\leq 0 no intervalo [0,2\pi].
Informações dadas importantes: \operatorname{sen}(x)\cos(x)\leq 0 é uma desigualdade envolvendo funções trigonométricas; o domínio considerado é x\in[0,2\pi]. O enunciado fornece quatro alternativas de intervalo para escolher.

Passo 2

Entendimento da desigualdade em termos de sinais: quando temos um produto de duas quantidades \,A\cdot B\leq 0, isso significa que ou (i) uma das quantidades é zero, ou (ii) as quantidades têm sinais opostos (uma positiva e outra negativa). Aqui A=\operatorname{sen}(x) e B=\cos(x). Logo precisamos encontrar todos os x\in[0,2\pi] onde pelo menos um dos fatores é zero ou onde \operatorname{sen}(x) e \cos(x) têm sinais opostos.

Passo 3

Primeiro passo prático: achar os pontos onde cada fator é zero (esses pontos certamente satisfazem a desigualdade, porque o produto será zero). Sabemos que:
\operatorname{sen}(x)=0\quad\text{em}\quad x=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.
\cos(x)=0\quad\text{em}\quad x=\frac{\pi}{2},\\ \frac{3\pi}{2}.
Esses cinco pontos (alguns coincidentes na fronteira) particionam o intervalo [0,2\pi] em subintervalos nos quais os sinais da seno e cosseno são constantes.

Passo 4

Vamos dividir [0,2\pi] nas quatro “quadrantes” mais usados:
[0,\tfrac{\pi}{2}),\quad (\tfrac{\pi}{2},\pi),\quad (\pi,\tfrac{3\pi}{2}),\quad (\tfrac{3\pi}{2},2\pi).
Em cada um desses intervalos o sinal de \operatorname{sen}(x) e de \cos(x) é fixo. Vou analisar cada caso separadamente, e sempre tratar os pontos onde algum fator é zero (eles serão incluídos na solução porque a desigualdade é \leq 0).

Passo 5

Análise em \,0<x<\tfrac{\pi}{2}:
  • Para esses x temos \operatorname{sen}(x)>0 e \cos(x)>0.
  • Produto: \operatorname{sen}(x)\cos(x)>0.
    Portanto, nenhum ponto interior desse intervalo satisfaz a desigualdade. Porém, no ponto x=0 temos \operatorname{sen}(0)=0, então x=0 satisfaz \operatorname{sen}(x)\cos(x)\leq 0. No ponto x=\tfrac{\pi}{2} temos \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, então x=\tfrac{\pi}{2} também satisfaz.

Passo 6

Análise em \,\tfrac{\pi}{2}<x<\pi:
  • Aqui \operatorname{sen}(x)>0 e \cos(x)<0.
  • Produto: \operatorname{sen}(x)\cos(x)<0.
    Assim, todo o intervalo aberto \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right) satisfaz a desigualdade. Como vimos, os extremos x=\tfrac{\pi}{2} e x=\pi também satisfazem (zeros dos fatores), então o conjunto que satisfaz nesta região é o intervalo fechado \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].

Passo 7

Análise em \,\pi<x<\tfrac{3\pi}{2}:
  • Aqui \operatorname{sen}(x)<0 e \cos(x)<0.
  • Produto: \operatorname{sen}(x)\cos(x)>0.
    Portanto, os pontos interiores desse intervalo não satisfazem a desigualdade. Os extremos x=\pi e x=\tfrac{3\pi}{2} são zeros de seno e cosseno, respectivamente, e por isso satisfazem a desigualdade; x=\pi já foi incluído no intervalo anterior \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].

Passo 8

Análise em \,\tfrac{3\pi}{2}<x<2\pi:
  • Aqui \operatorname{sen}(x)<0 e \cos(x)>0.
  • Produto: \operatorname{sen}(x)\cos(x)<0.
    Logo todo o intervalo aberto \left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right) satisfaz a desigualdade. Como x=\tfrac{3\pi}{2} e x=2\pi são zeros (de \cos e de \operatorname{sen}, respectivamente), eles também satisfazem, e a região que satisfaz aqui é o intervalo fechado \left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right].

Passo 9

Juntando tudo: os pontos e intervalos que satisfazem \operatorname{sen}(x)\cos(x)\leq 0 em [0,2\pi] são
\{0\}\\ \cup\\ \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\\ \cup\\ \left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right].
Explicação rápida alternativa (útil na prova): usar a identidade \operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x). A inequação vira \operatorname{sen}(2x)\leq 0. Resolver \operatorname{sen}(2x)\leq 0 em x\in[0,2\pi] leva aos mesmos blocos de solução acima; atenção apenas ao ponto isolado x=0 (onde \operatorname{sen}(2\cdot 0)=0), que deve ser incluído.

Passo 10

Comparando com as alternativas dadas: a alternativa (a) propõe \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]\cup\left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right]. Isso coincide com nossa solução, exceto que precisamos lembrar do ponto x=0 (onde o produto é zero). Como as alternativas listadas são mutuamente excludentes e apenas a (a) apresenta os dois intervalos principais corretos, a alternativa (a) é a que corresponde à solução principal indicada nas opções.

Resposta

(a)

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