Q9: O conjunto-solução de um sistema de
equações em 12 incognitas é um plano em
. Um possivel valor de
é:
(A) 1
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(K) 12
(A) 1
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(K) 12
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Há um sistema linear com
equações e incógnitas. - O conjunto-solução desse sistema é um plano em
.
A pergunta é: qual dos valores oferecidos parapode ocorrer? (Opções: (A) , (B) , (C) , (D) , (E) , (K) .)
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática):
- Considere a matriz do sistema
de tamanho e o vetor (sistema ). - O posto da matriz
será denotado por . O posto é o número de equações linearmente independentes (ou equivalentemente o número máximo de colunas linearmente independentes). - Para o sistema homogêneo
, o espaço solução (núcleo de ) tem dimensão igual a . Isto vem do teorema posto-nulidade: dimensão do domínio ( ) = posto ( ) + nulidade ( ). - Para o sistema não-homogêneo
que é consistente, o conjunto de soluções é um subespaço afim: é uma translação do núcleo de e, portanto, tem a mesma dimensão do núcleo, isto é, também dimensão .
Observação prática e simples: em, se o posto for , então a solução do homogêneo tem dimensão (uma reta). Isso ilustra como o posto determina a dimensão do conjunto de soluções.
Passo 3
Interpretando “plano”: normalmente, em linguagem geométrica, um “plano” significa um subespaço afim de dimensão
. Assim, a dimensão do conjunto-solução é
. Pela relação anterior entre dimensão e posto, isso implica
Portanto
Passo 4
Relação entre
e
:
- O posto
não pode exceder o número de equações , porque não há mais equações independentes do que equações disponíveis. Logo
Como encontramos
, é necessário que
Assim os valores possíveis de
(em princípio) são
ou
. Em palavras: pode haver exatamente
equações independentes (então
), ou mais equações das quais algumas são combinações lineares das outras (por exemplo
ou
) e o posto permanecer
.
Passo 5
Analisando as opções dadas:
- (A)
, (B) , (C) , (D) , (E) : todas são menores que . Como deve ser pelo menos , nenhuma dessas pode ocorrer. - (K)
: é maior ou igual a , portanto é compatível com . Ou seja, é perfeitamente possível ter equações em que apenas são independentes (posto ), fazendo com que o conjunto-solução seja um plano de dimensão .
Passo 6
Conclusão final: entre as alternativas oferecidas, a única compatível é
.
Resposta
(K)