Q9: O conjunto-solução de um sistema de m equações em 12 incognitas é um plano em \mathbb{R}^{12}. Um possivel valor de m é:
(A) 1
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(K) 12

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Há um sistema linear com m equações e 12 incógnitas.
  • O conjunto-solução desse sistema é um plano em \mathbb{R}^{12}.
    A pergunta é: qual dos valores oferecidos para m pode ocorrer? (Opções: (A) 1, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9, (K) 12.)

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática):
  • Considere a matriz do sistema A de tamanho m\times 12 e o vetor b (sistema A x = b).
  • O posto da matriz A será denotado por r. O posto r é o número de equações linearmente independentes (ou equivalentemente o número máximo de colunas linearmente independentes).
  • Para o sistema homogêneo A x = 0, o espaço solução (núcleo de A) tem dimensão igual a 12 - r. Isto vem do teorema posto-nulidade: dimensão do domínio ( 12) = posto ( r) + nulidade ( 12-r).
  • Para o sistema não-homogêneo A x = b que é consistente, o conjunto de soluções é um subespaço afim: é uma translação do núcleo de A e, portanto, tem a mesma dimensão do núcleo, isto é, também dimensão 12 - r.
    Observação prática e simples: em \mathbb{R}^3, se o posto for 2, então a solução do homogêneo tem dimensão 3-2=1 (uma reta). Isso ilustra como o posto determina a dimensão do conjunto de soluções.

Passo 3

Interpretando “plano”: normalmente, em linguagem geométrica, um “plano” significa um subespaço afim de dimensão 2. Assim, a dimensão do conjunto-solução é 2. Pela relação anterior entre dimensão e posto, isso implica
12 - r = 2.
Portanto
r = 10.

Passo 4

Relação entre r e m:
  • O posto r não pode exceder o número de equações m, porque não há mais equações independentes do que equações disponíveis. Logo
r \le m.
Como encontramos r=10, é necessário que
m \ge 10.
Assim os valores possíveis de m (em princípio) são 10,11 ou 12. Em palavras: pode haver exatamente 10 equações independentes (então m=10), ou mais equações das quais algumas são combinações lineares das outras (por exemplo m=11 ou m=12) e o posto permanecer 10.

Passo 5

Analisando as opções dadas:
  • (A) 1, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9: todas são menores que 10. Como m deve ser pelo menos 10, nenhuma dessas pode ocorrer.
  • (K) 12: é maior ou igual a 10, portanto é compatível com r=10. Ou seja, é perfeitamente possível ter m=12 equações em que apenas 10 são independentes (posto 10), fazendo com que o conjunto-solução seja um plano de dimensão 2.

Passo 6

Conclusão final: entre as alternativas oferecidas, a única compatível é m=12.

Resposta

(K) 12

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