Sejam \vec{v}=(5,-3) e \beta=\{(1,-1),(-2,1)\}. Assinale a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}, as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta.
(F) 2
(4) 1
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(5,-3) e a base \beta=\{(1,-1),(-2,1)\}.
A pergunta é: qual é a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}, ou seja, qual é o coeficiente associado ao primeiro vetor da base \beta quando \vec{v} é escrito como combinação linear desses vetores?
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{v}=(5,-3).
  • \beta tem \mathbf{b_1}=(1,-1) e \mathbf{b_2}=(-2,1).
  • Precisamos encontrar a coordenada c_1 tal que [\vec{v}]_{\beta}=(c_1,c_2) e depois assinalar a primeira entrada c_1.

Passo 2

Entendendo o que queremos calcular: escrever \vec{v} como combinação linear dos vetores da base. Ou seja, existem escalares \,c_1 e \,c_2 tais que
\vec{v}=c_1\mathbf{b_1}+c_2\mathbf{b_2}.
Aqui \,c_1 é exatamente a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}. Explicando variáveis:
  • \vec{v} é o vetor alvo, com componentes (5,-3).
  • \mathbf{b_1}=(1,-1) e \mathbf{b_2}=(-2,1) são os vetores da base.
  • \,c_1 e \,c_2 são os coeficientes desconhecidos que queremos achar.

Passo 3

Escrevendo as componentes do sistema que vem da igualdade vetorial. A igualdade vetorial dá um sistema em componentes:
c_1\cdot(1)+c_2\cdot(-2)=5
c_1\cdot(-1)+c_2\cdot(1)=-3
Simplificando:
c_1-2c_2=5
- c_1+c_2=-3

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Somando as duas equações para eliminar c_1:
(c_1-2c_2)+(-c_1+c_2)=5+(-3)
- c_2 = 2
Logo
c_2 = -2.

Passo 5

Agora substituir c_2=-2 em uma das equações para achar c_1. Usando c_1-2c_2=5:
c_1-2(-2)=5
c_1+4=5
c_1=1.

Passo 6

Fazer uma checagem rápida multiplicando e somando para recuperar \vec{v}:
1\cdot(1,-1)+(-2)\cdot(-2,1)=(1,-1)+(4,-2)=(5,-3),
que coincide com \vec{v}. Está correto.

Resposta

(4) 1

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