Q9: O conjunto solução do sistema linear abaixo,
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0 \\\\ 1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right]
é o complemento ortogonal de:
(A) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -3 & -1\end{array}\right].
(B) \operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,0,-3),(3,5,-1)\}.
(C) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -3 \\\\ 3 & 5 & -1\end{array}\right].
(D) \operatorname{span}\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+3x_{3}=0,\\\ x_{1}+0\,x_{2}+5x_{3}=0,\\\ x_{1}-3x_{2}-x_{3}=0, \end{cases}
que em forma matricial é A x=0 com
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 5\\\\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Queremos ver a qual subespaço o conjunto solução (o núcleo de A) é complemento ortogonal.

Passo 2

Lembrando do resultado de Álgebra Linear: para uma matriz A de tamanho m\times n, o espaço nulo \ker(A) é o complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas de A. Em símbolos,
\ker(A) = (\text{rowspace}(A))^\perp.

Passo 3

As linhas de A são os vetores
r_{1}=(1,-1,3),\quad r_{2}=(1,0,5),\quad r_{3}=(1,-3,-1).
O espaço das linhas de A é
\operatorname{span}\{r_{1},r_{2},r_{3}\} =\operatorname{span}\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.

Passo 4

Portanto o conjunto solução do sistema, que é \ker(A), é exatamente o complemento ortogonal de
\operatorname{span}\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.
Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) \operatorname{span}\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.

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