Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|r}1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 6 & 3 \\\\ -2 & -2 & k\end{array}\right]
O valor de k tal que o sistema tem solução é:
(A) -3
(B) -5
(C) -4
(D) -6
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 2 \\[6pt] 2 & 6 & 3 \\[6pt] -2 & -2 & k \end{array}\right]
e pede o valor de k para que o sistema seja compatível (tenha solução). O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por substituição ou escalonamento, visando encontrar condições de compatibilidade.]

Passo 2

Vamos reescrever o sistema de equações associado:
\begin{cases} x + 2y = 2,\\[4pt] 2x + 6y = 3,\\[4pt] -2x - 2y = k. \end{cases}]

Passo 3

Primeiro, resolvemos as duas primeiras equações.
Da primeira equação segue
x = 2 - 2y.
Substituindo em 2x + 6y = 3, temos
2(2 - 2y) + 6y = 3 \quad\Longrightarrow\quad 4 - 4y + 6y = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2y = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12.
Logo,
x = 2 - 2\bigl(-\tfrac12\bigr) = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Para o sistema ser compatível, a solução (x,y)=(3,\,-\tfrac12) deve satisfazer também a terceira equação -2x - 2y = k. Substituindo,
-2\cdot 3 \;-\; 2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = -6 + 1 = -5,
logo
k = -5.

Resposta

(B) -5

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