Q4: A matriz P=M\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] M^{-1},
\operatorname{com} M=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 2 & -1 & 4 \\\\ 1 & -4 & -1 & 4 \\\\ 3 & 3 & 1 & 3 \\\\ -1 & -1 & 5 & 1\end{array}\right],
representa uma projeção ortogonal.
A imagem de P é o subespaço:
(A) \operatorname{span}\{(-1,-1,1,5),(4,4,3,1)\}
(B) \operatorname{span}\{(-3,1,3,-1),(2,-4,3,-1)\}
(C) \operatorname{span}\{(2,-4,3,-1),(4,4,3,1)\}
(D) \operatorname{span}\{(-3,1,3,-1),(-1,-1,1,5)\}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de projeção
P = M \begin{pmatrix}1&0&0&0\\\ 0&0&0&0\\\ 0&0&1&0\\\ 0&0&0&0\end{pmatrix} M^{-1}
com
M = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & 4 \\[3pt] 1 & -4 & -1 & 4 \\[3pt] 3 & 3 & 1 & 3 \\[3pt] -1 & -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar o subespaço imagem de P, ou seja, \Im(P).]

Passo 2

Uma projeção dada por
P = M\,D\,M^{-1}
com D=\operatorname{diag}(1,0,1,0) satisfaz
\Im(P) \;=\; M\bigl(\Im(D)\bigr) \quad\text{e}\quad \Im(D)=\Span\{e_{1},e_{3}\},
onde e_{i} são os vetores canônicos.

Passo 3

Para obter \Im(P), calculamos
M e_{1} = \text{coluna 1 de }M = (-3,1,3,-1),
M e_{3} = \text{coluna 3 de }M = (-1,-1,1,5).
Logo
\Im(P) = \Span\{(-3,1,3,-1),\,(-1,-1,1,5)\}.

Passo 4

Comparando com as opções, essa base corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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