Nos Exercテュcios determine os valores de a com os quais o sistema nテ」o tem soluテァテ」o, tem exatamente uma soluテァテ」o ou tem uma infinidade de soluテァテオes.

& 1. x+2 y-\quad 3 z=4
& 3 x-y+\quad 5 z=2
& 4 x+y+\left(a^{2}-14\right) z=a+2

Passo 1

O sistema é formado por três equações lineares em três incógnitas x, y e z, dependendo de um parâmetro a. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares 3×3 e as condições de existência e unicidade de solução, usando determinantes e análise de consistência (posto da matriz de coeficientes vs. posto da matriz ampliada).

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor dos termos constantes b:
A =
[ [1, 2, –3],
[3, –1, 5],
[4, 1, a²–14] ]
b = [4, 2, a+2].
Para verificar se há solução única, calculamos det(A).

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) = 1·det([[-1,5],[1,a²–14]]) – 2·det([[3,5],[4,a²–14]]) + (–3)·det([[3,–1],[4,1]]).
Os menores são:
M11 = (-1)(a^2-14) - 5·1 = -a^2+9,
M12 = 3(a^2-14) - 5·4 = 3a^2 - 62,
M13 = 3·1 - (-1)·4 = 7
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det(A) = (-a^2+9) - 2(3a^2 - 62) - 3·7 = -7a^2 + 112 = -7(a-4)(a+4)

Passo 4

Como det(A) ≠ 0 para a ≠ ±4, nesses valores o sistema tem exatamente uma solução (posto A = 3).

Passo 5

Para a = 4 e a = -4 temos det(A) = 0 (posto A < 3).
  • Se a = 4, a terceira equação vira 4x + y + 2z = 6, que se verifica ser soma da 1ª (x+2y–3z=4) com a 2ª (3x–y+5z=2). Ou seja, a matriz ampliada e A têm mesmo posto 2, gerando infinitas soluções (grau de liberdade 1).
  • Se a = -4, a terceira equação fica 4x + y + 2z = -2, que não coincide com combinação da 1ª e 2ª (que dariam 6 no lado direito), resultando em contradição. Aí posto(A) = 2 e posto(ampliada) = 3, sistema sem solução.

Passo 6

Resumindo: det(A) ≠ 0 ⇒ solução única; det(A)=0 e consistente ⇒ infinitas; det(A)=0 e inconsistente ⇒ sem solução.

Resposta

Sem solução: a = -4; Exatamente uma solução: a ≠ ±4; Infinitas soluções: a = 4.

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