Qual dos conjuntos abaixo é uma base do
? Explique por quê.
a.
b.
a.
b.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: determinar qual dos conjuntos dados é uma base de
e justificar. - Conjuntos fornecidos:
- a.
- b.
- a.
Passo 2
O que significa ser uma base de
— explicação didática.
- Definição: um conjunto de vetores é uma base de
se (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram (span) todo . - Em palavras simples: os vetores devem não estar “na mesma reta” (para que sejam independentes) e, combinando-os com coeficientes reais, deve ser possível obter qualquer vetor de
(para que gerem o espaço). - Fato prático para
: um par de vetores em é base se, e somente se, for linearmente independente. Verificar independência é suficiente porque dois vetores independentes em automaticamente geram .
Passo 3
Critério numérico prático (ferramenta que você usa na prova).
- Se os vetores são
e , constrói-se a matriz cujas colunas são esses vetores e calcula-se o determinante:
- Se
, então é linearmente independente e, portanto, é base de . - Se
, então os vetores são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro) e não formam base.]
Passo 4
Aplicando o critério ao item (a).
- Tome
e . - Monte o determinante (colocando os vetores como colunas):
- Como
, os vetores são linearmente independentes. Logo, é uma base de .]
Passo 5
Mostrando explicitamente que geram [\mathbb{R}^{2}) (com cálculo de coeficientes) — dica prática para a prova.
- Para verificar que geram qualquer
, resolvemos
Isto equivale ao sistema
- Da primeira equação vem
obtemos
reais; portanto os vetores geram todo . Isso confirma que (a) é base.]
Passo 6
Aplicando o critério ao item (b).
- Tome
e . - Observe que multiplicando
por obtém-se
- Assim
é múltiplo escalar de , ou seja, os vetores são linearmente dependentes. - Verificação pelo determinante:
- Como o determinante é zero (ou como um vetor é múltiplo do outro), o conjunto não é independente e, portanto, não é base de
.]
Passo 7
Intuição final e dica de prova rápida.
- Resumo prático: em
basta checar se os vetores são múltiplos entre si (se forem, não formam base) ou calcular o determinante das colunas (se for zero, não é base; se for diferente de zero, é base). - No exame: para cada par faça primeiro o teste do múltiplo (rápido) e, se não for óbvio, calcule o determinante.
Resposta
a. Sim —
é base de
.
b. Não —
não é base de
.