Qual dos conjuntos abaixo é uma base do \mathbb{R}^{2} ? Explique por quê.
a. \{(-2,1),(0,2)\}
b. \{(-1,2),(4,-8)\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: determinar qual dos conjuntos dados é uma base de \mathbb{R}^{2} e justificar.
  • Conjuntos fornecidos:
    • a. \{(-2,1),(0,2)\}
    • b. \{(-1,2),(4,-8)\}

Passo 2

O que significa ser uma base de \mathbb{R}^{2} — explicação didática.
  • Definição: um conjunto de vetores é uma base de \mathbb{R}^{2} se (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram (span) todo \mathbb{R}^{2}.
  • Em palavras simples: os vetores devem não estar “na mesma reta” (para que sejam independentes) e, combinando-os com coeficientes reais, deve ser possível obter qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} (para que gerem o espaço).
  • Fato prático para \mathbb{R}^{2}: um par de vetores em \mathbb{R}^{2} é base se, e somente se, for linearmente independente. Verificar independência é suficiente porque dois vetores independentes em \mathbb{R}^{2} automaticamente geram \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Critério numérico prático (ferramenta que você usa na prova).
  • Se os vetores são \displaystyle v_1=(a,b) e \displaystyle v_2=(c,d), constrói-se a matriz cujas colunas são esses vetores e calcula-se o determinante:
\det\begin{pmatrix} a & c \\[4pt] b & d \end{pmatrix} = ad-bc.
  • Se \displaystyle ad-bc \neq 0, então \{v_1,v_2\} é linearmente independente e, portanto, é base de \mathbb{R}^{2}.
  • Se \displaystyle ad-bc = 0, então os vetores são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro) e não formam base.]

Passo 4

Aplicando o critério ao item (a).
  • Tome \displaystyle v_1=(-2,1) e \displaystyle v_2=(0,2).
  • Monte o determinante (colocando os vetores como colunas):
\det\begin{pmatrix} -2 & 0 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix} = (-2)\cdot 2 - 0\cdot 1 = -4.
  • Como -4 \neq 0, os vetores são linearmente independentes. Logo, \{(-2,1),(0,2)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 5

Mostrando explicitamente que geram [\mathbb{R}^{2}) (com cálculo de coeficientes) — dica prática para a prova.
  • Para verificar que geram qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, resolvemos
c_1(-2,1)+c_2(0,2)=(x,y).
Isto equivale ao sistema
\begin{cases} -2c_1 = x,\\[4pt] c_1 + 2c_2 = y. \end{cases}
  • Da primeira equação vem c_1 = -\dfrac{x}{2}\]. Substituindo na segunda: \[-\dfrac{x}{2} + 2c_2 = y \quad\Rightarrow\quad 2c_2 = y + \dfrac{x}{2} \quad\Rightarrow\quad c_2 = \dfrac{2y+x}{4}.\] - Para qualquer \(x,y obtemos c_1,c_2 reais; portanto os vetores geram todo \mathbb{R}^{2}. Isso confirma que (a) é base.]

Passo 6

Aplicando o critério ao item (b).
  • Tome \displaystyle w_1=(-1,2) e \displaystyle w_2=(4,-8).
  • Observe que multiplicando w_1 por -4 obtém-se
-4\cdot(-1,2) = (4,-8) = w_2.
  • Assim w_2 é múltiplo escalar de w_1, ou seja, os vetores são linearmente dependentes.
  • Verificação pelo determinante:
\det\begin{pmatrix} -1 & 4 \\[4pt] 2 & -8 \end{pmatrix} = (-1)(-8) - 4\cdot 2 = 8-8 = 0.
  • Como o determinante é zero (ou como um vetor é múltiplo do outro), o conjunto não é independente e, portanto, não é base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 7

Intuição final e dica de prova rápida.
  • Resumo prático: em \mathbb{R}^{2} basta checar se os vetores são múltiplos entre si (se forem, não formam base) ou calcular o determinante das colunas (se for zero, não é base; se for diferente de zero, é base).
  • No exame: para cada par faça primeiro o teste do múltiplo (rápido) e, se não for óbvio, calcule o determinante.

Resposta

a. Sim — \{(-2,1),(0,2)\} é base de \mathbb{R}^{2}.
b. Não — \{(-1,2),(4,-8)\} não é base de \mathbb{R}^{2}.

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