Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?
(b) L=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right], a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto L é um subanel de \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}). O conjunto é
L=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b,c\in\mathbb{R} \right\}.
Devemos responder: L é um subanel de \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) (sim ou não) e justificar passo a passo.]

Passo 2

Critério que vamos usar (explicadinho): para um subconjunto S de um anel ser subanel costuma bastar que S seja não vazio, fechado para a subtração e fechado para a multiplicação. Por que isso basta? Porque
  • fechamento para subtração garante que S é subgrupo aditivo (logo contém o elemento nulo e inversos aditivos),
  • fechamento para multiplicação garante que o produto de dois elementos de S fica em S.
    Portanto, vou verificar esses pontos para o conjunto L.

Passo 3

Verificar que L não é vazio (ou contém o elemento nulo). Mostro um elemento concreto de L: tome a=0, b=0, c=0. Então
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}\in L.
Portanto L é não vazio e contém a matriz zero (identidade aditiva).]

Passo 4

Verificar fechamento por subtração. Seja
X=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}\quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix} a' & b' \\[4pt] 0 & c' \end{pmatrix}
com a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R} (estes são elementos genéricos de L). Então
X-Y=\begin{pmatrix} a-a' & b-b' \\[4pt] 0 & c-c' \end{pmatrix}.
Como a-a',\,b-b',\,c-c' são números reais, a matriz X-Y tem exatamente a mesma forma que define L (entrada inferior esquerda igual a 0). Logo X-Y\in L. Isso mostra fechamento para subtração — em particular L é fechado para adição e inversos aditivos.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação. Usando as mesmas matrizes genéricas X e Y do passo anterior, calculamos o produto:
XY= \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\[4pt] 0 & c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' & ab' + bc' \\[4pt] 0 & cc' \end{pmatrix}.
Observe que a entrada inferior esquerda do produto é 0. As entradas restantes aa', ab'+bc' e cc' são reais, portanto XY também tem a forma que define L. Assim XY\in L. Isso prova fechamento para multiplicação.]

Passo 6

Conclusão dos cheques: L contém a matriz zero (não vazio), é fechado para subtração (logo é subgrupo aditivo) e é fechado para multiplicação. Portanto L satisfaz os requisitos para ser subanel de \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}). Observação adicional útil na prova: a matriz identidade
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
também pertence a L (entrada inferior esquerda é 0), então L contém a unidade do anel ambienta — mas isso não é necessário para a definição básica de subanel em todas as abordagens; é só um plus.]

Resposta

Sim. L é um subanel de \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}).

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