Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?
(c) L=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right], a, b \in \mathbb{R}\right\}.
é um subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
Informações dadas: cada elemento de L é uma matriz 2\times2 diagonal com entradas reais a e b. A questão é decidir se L é fechado nas operações herdadas (adição, inverso aditivo, multiplicação) e contém o elemento neutro aditivo (ou, conforme a definição que usarmos, se satisfaz as propriedades que garantem que é um subanel).]
Passo 2
Definimos claramente o que vamos verificar (usando uma definição habitual e prática de subanel): um subconjunto S de um anel R é subanel se
S é não vazio;
S é fechado para a subtração (ou equivalentemente, fechado para adição e contém inversos aditivos);
S é fechado para a multiplicação.
Se essas três condições ocorrerem, então S com as operações herdadas é um anel (o anel unitário total pode ou não ser exigido dependendo da definição, mas aqui vamos observar também se I está em L). Vou aplicar essas verificações passo a passo a L.
Passo 3
Verificar que L é não vazio e contém o elemento zero (neutro aditivo).
Pegue a=0 e b=0. A matriz
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
é da forma dada com a,b\in\mathbb{R}, logo pertence a L. Portanto L é não vazio e contém o neutro aditivo.]
Passo 4
Fechamento para adição (explicando passo a passo como somar matrizes diagonais).
Sejam
que pertence a L porque -a,-b\in\mathbb{R}. Consequentemente A-C=A+(-C)=\begin{pmatrix}a-c & 0\\[4pt]0 & b-d\end{pmatrix}\in L. Portanto L é fechado para subtração (e contém inversos aditivos).]
Passo 6
Fechamento para multiplicação (fazer o produto explícito e mostrar por que as entradas fora da diagonal ficam nulas).
Multiplicando A por C temos, pela regra de multiplicação de matrizes,
Como ac,bd\in\mathbb{R}, o produto é novamente uma matriz diagonal da forma que define L. Logo AC\in L para quaisquer A,C\in L, ou seja, L é fechado para multiplicação.]
Passo 7
Conclusão e observações úteis para a prova.
Já mostramos que L é não vazio, fechado para subtração e fechamento para multiplicação; portanto L é subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}). Além disso, nota interessante que pode te ajudar na prova: L contém a matriz identidade
portanto, se for exigido que subanéis contenham a unidade, L também satisfaz essa exigência. Outro fato prático: L é isomorfo ao produto direto de anéis \mathbb{R}\times\mathbb{R} via