Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?
(c) L=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right], a, b \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
L=\left\{\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
Informações dadas: cada elemento de L é uma matriz 2\times2 diagonal com entradas reais a e b. A questão é decidir se L é fechado nas operações herdadas (adição, inverso aditivo, multiplicação) e contém o elemento neutro aditivo (ou, conforme a definição que usarmos, se satisfaz as propriedades que garantem que é um subanel).]

Passo 2

Definimos claramente o que vamos verificar (usando uma definição habitual e prática de subanel): um subconjunto S de um anel R é subanel se
  1. S é não vazio;
  2. S é fechado para a subtração (ou equivalentemente, fechado para adição e contém inversos aditivos);
  3. S é fechado para a multiplicação.
Se essas três condições ocorrerem, então S com as operações herdadas é um anel (o anel unitário total pode ou não ser exigido dependendo da definição, mas aqui vamos observar também se I está em L). Vou aplicar essas verificações passo a passo a L.

Passo 3

Verificar que L é não vazio e contém o elemento zero (neutro aditivo).
Pegue a=0 e b=0. A matriz
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
é da forma dada com a,b\in\mathbb{R}, logo pertence a L. Portanto L é não vazio e contém o neutro aditivo.]

Passo 4

Fechamento para adição (explicando passo a passo como somar matrizes diagonais).
Sejam
A=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix}c & 0\\[4pt]0 & d\end{pmatrix}
com a,b,c,d\in\mathbb{R} (escolhidos arbitrariamente). A soma A+C é feita entrada a entrada:
A+C=\begin{pmatrix}a+c & 0+0\\[4pt]0+0 & b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c & 0\\[4pt]0 & b+d\end{pmatrix}.
Como a+c e b+d são números reais, a soma tem a mesma forma diagonal, logo A+C\in L. Assim L é fechado para adição.]

Passo 5

Fechamento para inverso aditivo / subtração.
Para a mesma A acima, o inverso aditivo é -A, calculado entrada a entrada:
-A=\begin{pmatrix}-a & 0\\[4pt]0 & -b\end{pmatrix},
que pertence a L porque -a,-b\in\mathbb{R}. Consequentemente A-C=A+(-C)=\begin{pmatrix}a-c & 0\\[4pt]0 & b-d\end{pmatrix}\in L. Portanto L é fechado para subtração (e contém inversos aditivos).]

Passo 6

Fechamento para multiplicação (fazer o produto explícito e mostrar por que as entradas fora da diagonal ficam nulas).
Multiplicando A por C temos, pela regra de multiplicação de matrizes,
AC=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c & 0\\[4pt]0 & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\cdot c + 0\cdot 0 & a\cdot 0 + 0\cdot d\\[4pt]0\cdot c + b\cdot 0 & 0\cdot 0 + b\cdot d\end{pmatrix}.
Calculando cada entrada:
AC=\begin{pmatrix}ac & 0\\[4pt]0 & bd\end{pmatrix}.
Como ac,bd\in\mathbb{R}, o produto é novamente uma matriz diagonal da forma que define L. Logo AC\in L para quaisquer A,C\in L, ou seja, L é fechado para multiplicação.]

Passo 7

Conclusão e observações úteis para a prova.
Já mostramos que L é não vazio, fechado para subtração e fechamento para multiplicação; portanto L é subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}). Além disso, nota interessante que pode te ajudar na prova: L contém a matriz identidade
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\in L,
portanto, se for exigido que subanéis contenham a unidade, L também satisfaz essa exigência. Outro fato prático: L é isomorfo ao produto direto de anéis \mathbb{R}\times\mathbb{R} via
\varphi\colon L\to\mathbb{R}\times\mathbb{R},\qquad \varphi\!\left(\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&b\end{pmatrix}\right)=(a,b),
que preserva soma e produto; isto explica a estrutura de L de forma muito clara.]

Resposta

Sim — L é subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).

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