Sejam p um número primo e \mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{a+b \sqrt{p} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} com adição e multiplicação definidas por
\begin{gathered} (a+b \sqrt{p})+(c+d \sqrt{p})=(a+c)+(b+d) \sqrt{p} \\\ (a+b \sqrt{p}) \cdot(c+d \sqrt{p})=(a c+p b d)+(b c+a d) \sqrt{p} \end{gathered}
Mostre que (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+, \cdot) que é um anel de integridade.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{a+b\sqrt{p}\mid a,b\in\mathbb{Q}\} com as operações
(a+b\sqrt{p})+(c+d\sqrt{p})=(a+c)+(b+d)\sqrt{p}
e
(a+b\sqrt{p})\cdot(c+d\sqrt{p})=(ac+pbd)+(bc+ad)\sqrt{p}.
A tarefa é mostrar que (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+,\cdot) é um anel de integridade.
Informações relevantes dadas:
  • p é um número primo (portanto um inteiro positivo) — em particular \sqrt{p} é um número real irracional.
  • Os elementos do conjunto são pares (a,b) escritos como a+b\sqrt{p} com a,b\in\mathbb{Q}.
  • Foram fornecidas fórmulas explícitas para soma e produto.
O que se pede, de forma concreta, é verificar que esse conjunto com essas operações:
  1. é um anel (ou seja, forma um grupo abeliano para a soma, a multiplicação é associativa, distributiva em relação à soma, tem elemento neutro multiplicativo, etc.); e
  2. não tem divisores de zero (ou seja, se x\cdot y=0 então x=0 ou y=0).
A resolução começa na etapa seguinte.

Passo 2

Mostrando que \mathbb{Q}[\sqrt{p}] é fechado nas operações e propriedades básicas de adição.
  1. Fechamento da adição: se x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p} com a,b,c,d\in\mathbb{Q}, então
x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{p},
e como soma de racionais é racional, (a+c),(b+d)\in\mathbb{Q}, logo x+y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}].
  1. Existência do elemento neutro aditivo: 0:=0+0\sqrt{p} pertence a \mathbb{Q}[\sqrt{p}] e x+0=x para todo x.
  2. Inverso aditivo: o inverso de x=a+b\sqrt{p} é -x=(-a)+(-b)\sqrt{p}, pois
(a+b\sqrt{p})+((-a)+(-b)\sqrt{p})=(0)+(0)\sqrt{p}=0.
  1. Comutatividade e associatividade da adição: seguem diretamente da comutatividade e associatividade em \mathbb{Q} aplicada coordenada a coordenada:
(a+b\sqrt{p})+(c+d\sqrt{p})=(a+c)+(b+d)\sqrt{p}=(c+a)+(d+b)\sqrt{p}.
Portanto (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+) é um grupo abeliano.

Passo 3

Propriedades básicas da multiplicação: fechamento, existência de elemento neutro e comutatividade.
  1. Fechamento da multiplicação: para x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p},
x\cdot y=(ac+pbd)+(bc+ad)\sqrt{p}.
Como ac+pbd\in\mathbb{Q} e bc+ad\in\mathbb{Q}, segue x\cdot y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}].
  1. Elemento neutro multiplicativo: 1:=1+0\sqrt{p} pertence a \mathbb{Q}[\sqrt{p}] e
(1+0\sqrt{p})(a+b\sqrt{p})=(1\cdot a + p\cdot 0\cdot b)+(0\cdot a + 1\cdot b)\sqrt{p}=a+b\sqrt{p},
ou seja, é neutro.
  1. Comutatividade da multiplicação: a fórmula do produto é simétrica em (a,b) e (c,d), logo
(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=(ac+pbd)+(bc+ad)\sqrt{p}=(ca+pdb)+(cb+da)\sqrt{p},
que é igual a (c+d\sqrt{p})(a+b\sqrt{p}), usando comutatividade em \mathbb{Q}.

Passo 4

Associatividade da multiplicação e distributividade (explicitação algébrica).
  1. Associatividade da multiplicação: convém verificar que para x=a+b\sqrt{p}, y=c+d\sqrt{p}, z=e+f\sqrt{p} temos (xy)z = x(yz). Isso é um cálculo longo coordenada a coordenada, mas pode ser visto como consequência de interpretar cada elemento como a+bX com X^2=p e usar associatividade em \mathbb{Q}[X] antes de impor X^2=p. Em termos concretos, se calcularmos as coordenadas de xy e depois multiplicarmos por z e compararmos com x multiplicado por yz, todas as somas e produtos envolvem apenas operações em \mathbb{Q} e rearranjos, e pela associatividade em \mathbb{Q} obtém-se igualdade. (Em provas formais escreveríamos as expressões e igualaríamos termo a termo; aqui usamos que a construção é polinomial em coordenadas racionais e herda associatividade de \mathbb{Q}.)
  2. Distributividade: para x,y,z como acima,
x\cdot(y+z)=x\cdot\big((c+e)+(d+f)\sqrt{p}\big)
e aplicando a fórmula do produto obtém-se o mesmo resultado que xy+xz coordenada a coordenada, pois multiplicação e soma em \mathbb{Q} são distributivas. Assim a multiplicação distribui sobre a adição.
Com isso, \mathbb{Q}[\sqrt{p}] satisfaz os axiomas de anel comutativo com unidade.

Passo 5

Ideia útil: definir a conjugação e a norma para controlar divisores de zero.
Para x=a+b\sqrt{p}\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}] definimos a conjugada
\overline{x}:=a-b\sqrt{p}
e a norma
N(x):=x\overline{x}=a^2-pb^2.
Observações didáticas:
  • A conjugação troca o sinal do termo com \sqrt{p}. É uma operação linear sobre \mathbb{Q}.
  • A norma N(x) é um número racional porque a^2 e pb^2 são racionais; portanto N:\mathbb{Q}[\sqrt{p}]\to\mathbb{Q}.
  • Calculemos a multiplicatividade da norma: para x,y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}],
N(xy)=(xy)\overline{(xy)}=(xy)(\overline{x}\,\overline{y})=x\overline{x}\;y\overline{y}=N(x)N(y),
usando que a conjugação inverte a ordem do produto mas como a multiplicação é comutativa isso é direto. Em termos práticos, a norma é multiplicativa.

Passo 6

Usando a norma para provar ausência de divisores de zero.
Queremos mostrar: se x,y\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}] e xy=0 então x=0 ou y=0.
Se xy=0 então aplicando N e usando multiplicatividade da norma obtemos
0=N(0)=N(xy)=N(x)N(y).
Como N(x),N(y)\in\mathbb{Q}, segue que N(x)=0 ou N(y)=0. Basta então provar que N(x)=0 implica x=0.
Se x=a+b\sqrt{p} e N(x)=0, então
a^2-pb^2=0\quad\Rightarrow\quad a^2 = p b^2.
Mostramos que isso implica a=0 e b=0. Suponha, por contradição, que (a,b)\neq(0,0). Se b=0 então da igualdade a^2=p b^2 segue a^2=0 e então a=0, contradição com (a,b)\neq(0,0). Logo b\neq0. Então \dfrac{a}{b} é um número racional e a igualdade dá
p=\left(\frac{a}{b}\right)^2,
ou seja, p seria o quadrado de um racional. Vamos ver que isso é impossível para p primo.
Escreva \dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n} em forma irreduzível com m,n\in\mathbb{Z}, \gcd(m,n)=1. A igualdade p=(m/n)^2
pn^2=m^2.
Como p é primo, se p divide o produto pn^2 então p divide m^2, e assim p divide m. Escrevendo m=p k e substituindo obtemos
pn^2 = p^2 k^2 \quad\Rightarrow\quad n^2 = p k^2,
então p divide n^2 e portanto p divide n. Isso contradiz \gcd(m,n)=1 (pois p divide ambos). Logo não é possível que p=(m/n)^2. Portanto nossa suposição estava errada e não existe a,b racionais não ambos zero com a^2=p b^2. Assim N(x)=0 implica a=b=0, isto é x=0.
Concluímos: se xy=0 então N(x)N(y)=0, portanto N(x)=0 ou N(y)=0, e assim x=0 ou y=0. Não há divisores de zero.

Passo 7

Resumo final dos argumentos e conclusão: já mostramos que
  • (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+) é grupo abeliano;
  • a multiplicação é fechada, associativa, comutativa, distributiva em relação à adição e tem elemento neutro 1;
  • não existem divisores de zero.
Portanto (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+,\cdot) é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero — isto é, um anel de integridade.

Resposta

(\mathbb{Q}[\sqrt{p}],+,\cdot) é um anel de integridade.

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