Consedere o operador linear
dado por
.
Este operador e- diagonalizázel? Por que?
Este operador e- diagonalizázel? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear
, que transforma um vetor
em
, é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de operadores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa diagonalizar um operador e encontrar os autovalores e autovetores desse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é diagonalizar um operador. Um operador é diagonalizável se conseguirmos representá-lo como uma matriz diagonal em alguma base. Isso acontece quando temos um conjunto de autovetores linearmente independentes. Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de
.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de
. Lembrando que os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
A matriz de
é:
Subtraindo
:
Calculamos o determinante:
Resolvendo
, temos
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Então, um autovetor associado a
é qualquer múltiplo de
.
Para
:
Resolvemos
:
Então, um autovetor associado a
é qualquer múltiplo de
.
Passo 5
Agora que encontramos dois autovalores distintos (
e
) e dois autovetores linearmente independentes (
e
), podemos concluir que o operador
possui uma base formada por autovetores. Isso significa que
é diagonalizável.
Resposta
Sim, o operador
é diagonalizável porque possui dois autovalores distintos e seus respectivos autovetores formam uma base de
.