Consedere o operador linear T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(y, x).
Este operador e- diagonalizázel? Por que?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear , que transforma um vetor em , é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de operadores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa diagonalizar um operador e encontrar os autovalores e autovetores desse operador.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é diagonalizar um operador. Um operador é diagonalizável se conseguirmos representá-lo como uma matriz diagonal em alguma base. Isso acontece quando temos um conjunto de autovetores linearmente independentes. Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de .

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de T = 0 & 1 1 & 0 . Lembrando que os autovalores são os valores de T - lambda I = -lambda & 1 1 & -lambda que satisfazem a equação det(T - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(1) = lambda^2 - 1 = 0 , onde é a matriz identidade.
A matriz de é:
Subtraindo :
Calculamos o determinante:
Resolvendo , temos e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (T - I) = -1 & 1 1 & -1 :
-1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Resolvemos (T + I) = 1 & 1 1 & 1 :
1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2
Então, um autovetor associado a é qualquer múltiplo de .
Para :
Resolvemos :
Então, um autovetor associado a é qualquer múltiplo de .

Passo 5

Agora que encontramos dois autovalores distintos ( e ) e dois autovetores linearmente independentes ( e ), podemos concluir que o operador possui uma base formada por autovetores. Isso significa que é diagonalizável.

Resposta

Sim, o operador é diagonalizável porque possui dois autovalores distintos e seus respectivos autovetores formam uma base de .

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