Sejam u=(x1, x2, cdots, xn) e v=(y1, y2, cdots, yn) vetores em R^n. Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se, xi cdot yj=xj cdot yi para quaisquer i, j in1,2, cdots, n.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço . Precisamos provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se a condição for qualquer é satisfeita.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores colineares e proporcionalidade entre componentes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que u = k cdot v é múltiplo escalar de xi = k cdot yi para todo i se existe um número real tal que:
Isso quer dizer que cada componente de é igual à correspondente de multiplicada por :

Passo 3

Agora, vamos ver a condição dada na questão: xi cdot yj = (k cdot yi) cdot yj = k cdot yi yj para quaisquer xj cdot yi = (k cdot yj) cdot yi = k cdot yj yi .
Se xi cdot yj = xj cdot yi é múltiplo escalar de , ou seja, , então:
E igualmente,
Como a multiplicação é comutativa ( ), temos:
Portanto, a condição é satisfeita.

Passo 4

Para a outra direção, vamos assumir que xi cdot y1 = x1 cdot yi para quaisquer xi = x1y1 cdot yi .
Vamos escolher e para cada , temos:
Se , podemos isolar :
Isso mostra que cada componente é proporcional a com o fator .
Portanto, , ou seja, é múltiplo escalar de .

Resposta

Concluímos que um dos vetores ou é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer .

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