Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores
e
no espaço
. Precisamos provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se a condição
for qualquer
é satisfeita.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores colineares e proporcionalidade entre componentes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que
é múltiplo escalar de
se existe um número real
tal que:
Isso quer dizer que cada componente de
é igual à correspondente de
multiplicada por
:
Passo 3
Agora, vamos ver a condição dada na questão:
para quaisquer
.
Se
é múltiplo escalar de
, ou seja,
, então:
E igualmente,
Como a multiplicação é comutativa (
), temos:
Portanto, a condição é satisfeita.
Passo 4
Para a outra direção, vamos assumir que
para quaisquer
.
Vamos escolher
e para cada
, temos:
Se
, podemos isolar
:
Isso mostra que cada componente
é proporcional a
com o fator
.
Portanto,
, ou seja,
é múltiplo escalar de
.
Resposta
Concluímos que um dos vetores
ou
é múltiplo escalar do outro se e somente se
para quaisquer
.