R. Se conseguir mostrar, acertou o exercício.
5. Um wafer de silício puro foi submetido a um tratamento térmico a 1.100^{\circ} \mathrm{C}, com uma concentração de As na superfície externa de 1 \%. Qual deve ser o tempo de dopagem para atingir uma concentração de As de 0,07 \% na posição de 0,1 \mu \mathrm{~m} abaixo da superfície do Si? Considere como coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura de 2,5 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Considere o wafer de Si como semi-infinito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura do tratamento: 1.100^\circ\mathrm{C} (só usada para justificar o valor de D fornecido).
    • Concentração de arsênio (As) na superfície: 1\%. Vou chamar isso de C_s=1\%.
    • Wafer considerado semi-infinito (condição para usar a solução clássica de difusão).
    • Concentração alvo a uma profundidade x=0{,}1\\ \mu\mathrm{m}: 0{,}07\%. Vou chamar isso de C(x,t)=0{,}07\%.
    • Coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura: D=2{,}5\times10^{-13}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
    • Material inicialmente puro em As → concentração inicial C(x,0)=0 (assumo 0\% de As no volume inicialmente).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tempo t de dopagem necessário para que, a x=0{,}1\\ \mu\mathrm{m} abaixo da superfície, a concentração de As seja 0{,}07\%.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (introdução didática ao modelo).
  • Para difusão unidimensional em um semi-espaço homogêneo com condição de borda de concentração constante na superfície (isto é, superfície mantida em C_s durante o processo) e concentração inicial zero, a solução da equação de difusão de Fick é a solução clássica envolvendo a função erro complementar \operatorname{erfc}. Essa solução descreve como a concentração varia com a profundidade x e o tempo t.
  • A fórmula é (apresento a forma e explico cada símbolo):
C(x,t)=C_s\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
  • C(x,t) é a concentração no ponto x após tempo t.
  • C_s é a concentração mantida na superfície (aqui 1\%).
  • D é o coeficiente de difusão ( 2{,}5\times10^{-13}\\ \mathrm{cm^{2}/s}).
  • \operatorname{erfc}(u) é a função erro complementar, definida por \operatorname{erfc}(u)=1-\operatorname{erf}(u), onde \operatorname{erf} é a função erro.
  • Motivação curta (sem prova formal): essa solução surge da separação de variáveis e uso de condições iniciais e de contorno apropriadas; é a solução padrão em processos de difusão com superfície mantida em concentração fixa.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso objetivo e simplificando a equação para encontrar t.
  • Queremos C(x,t)=0{,}07\% em x=0{,}1\\ \mu\mathrm{m}, com C_s=1\%. Dividindo ambos os lados por C_s:
\frac{C(x,t)}{C_s}=\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
  • Substituindo os números relativos (razão das concentrações):
\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right)=\dfrac{0{,}07\%}{1\%}=0{,}07.
  • Definindo
z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}},
temos
\operatorname{erfc}(z)=0{,}07.
  • Então precisamos do inverso da erfc para obter z:
z=\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}07).
  • Depois, isolamos t a partir de z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}:
2\sqrt{D t}=\dfrac{x}{z}\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{x^{2}}{4 D z^{2}}.

Passo 4

Conversões de unidades e preparação dos valores numéricos.
  • Converter a profundidade para centímetros (pois D está em \mathrm{cm^{2}/s}):
    • 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-4}\\ \mathrm{cm}. Logo
    x=0{,}1\\ \mu\mathrm{m}=0{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}.
  • Calcular x^{2}:
x^{2}=(1\times10^{-5}\\ \mathrm{cm})^{2}=1\times10^{-10}\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • O coeficiente de difusão já está em \mathrm{cm^{2}/s}:
D=2{,}5\times10^{-13}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.

Passo 5

Como encontrar z=\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}07) de forma prática (explicação didática).
  • Relação entre \operatorname{erf} e a função de distribuição normal acumulada \Phi:
\operatorname{erf}(z)=2\Phi\!\left(z\sqrt{2}\right)-1.
  • Como \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z), de \operatorname{erfc}(z)=0{,}07 obtemos:
\operatorname{erf}(z)=1-0{,}07=0{,}93.
  • Então
\Phi\!\left(z\sqrt{2}\right)=\dfrac{1+\operatorname{erf}(z)}{2}=\dfrac{1+0{,}93}{2}=0{,}965.
  • Agora precisamos do quantil da normal padrão tal que \Phi(u)=0{,}965. O quantil correspondente é aproximadamente u\approx1{,}812 (valor tabelado ou obtido por aproximação numérica).
  • Logo
z=\dfrac{u}{\sqrt{2}}\approx\dfrac{1{,}812}{\sqrt{2}}\approx\dfrac{1{,}812}{1{,}4142}\approx1{,}281.
  • Observação: essa é uma forma prática e bem usada: transformar o problema para o quantil da normal e dividir por \sqrt{2}. O valor numérico obtido é
z\approx1{,}281.

Passo 6

Cálculo final do tempo t com todos os números.
  • Primeiro calcule z^{2}:
z^{2}\approx(1{,}281)^{2}\approx1{,}641.
  • Calcular o denominador 4 D z^{2}:
4 D z^{2}=4\times(2{,}5\times10^{-13})\times1{,}641.
Calcule passo a passo:
4\times2{,}5\times10^{-13}=1{,}0\times10^{-12},
então
4 D z^{2}=1{,}0\times10^{-12}\times1{,}641=1{,}641\times10^{-12}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
  • Agora calcule t:
t=\dfrac{x^{2}}{4 D z^{2}}=\dfrac{1{,}0\times10^{-10}}{1{,}641\times10^{-12}}=\dfrac{1{,}0}{1{,}641}\times10^{2}\\ \mathrm{s}.
t\approx0{,}6093\times10^{2}\\ \mathrm{s}\approx60{,}9\\ \mathrm{s}.
  • Converter para minutos:
60{,}9\\ \mathrm{s}\approx1{,}015\\ \mathrm{min}\approx1{,}02\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Interpretação e checagens rápidas (conforto para a prova).
  • O tempo calculado é curto (~1 minuto), o que faz sentido porque estamos pedindo que a concentração a apenas 0{,}1\\ \mu\mathrm{m} (profundidade muito pequena) atinja 7\% da concentração de superfície quando o coeficiente de difusão, embora pequeno, ainda permite difusão nessa escala curta de distância.
  • Conferência rápida da ordem de grandeza: como x^{2}/D tem ordem 10^{-10}/10^{-13}=10^{3}\\ \mathrm{s}, o fator 1/(4 z^{2}) (aprox 1/(4\times1{,}6)\approx0{,}15) reduz para cerca de 150\\ \mathrm{s}. Nosso cálculo dá 61\\ \mathrm{s}, da mesma ordem de grandeza e consistente com o uso preciso do z.

Resposta

t\approx60{,}9\\ \mathrm{s}\approx1{,}02\\ \mathrm{min}

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