R. Se conseguir mostrar, acertou o exercício.
5. Um wafer de silício puro foi submetido a um tratamento térmico a
, com uma concentração de As na superfície externa de
. Qual deve ser o tempo de dopagem para atingir uma concentração de As de
na posição de
abaixo da superfície do Si? Considere como coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura de
. Considere o wafer de Si como semi-infinito.
5. Um wafer de silício puro foi submetido a um tratamento térmico a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
-
Dados do enunciado:
- Temperatura do tratamento:
(só usada para justificar o valor de fornecido). - Concentração de arsênio (As) na superfície:
. Vou chamar isso de . - Wafer considerado semi-infinito (condição para usar a solução clássica de difusão).
- Concentração alvo a uma profundidade
: . Vou chamar isso de . - Coeficiente de difusão do As no Si nessa temperatura:
. - Material inicialmente puro em As → concentração inicial
(assumo de As no volume inicialmente).
- Temperatura do tratamento:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo
de dopagem necessário para que, a abaixo da superfície, a concentração de As seja .
- Determinar o tempo
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (introdução didática ao modelo).
- Para difusão unidimensional em um semi-espaço homogêneo com condição de borda de concentração constante na superfície (isto é, superfície mantida em
durante o processo) e concentração inicial zero, a solução da equação de difusão de Fick é a solução clássica envolvendo a função erro complementar . Essa solução descreve como a concentração varia com a profundidade e o tempo . - A fórmula é (apresento a forma e explico cada símbolo):
-
é a concentração no ponto após tempo . -
é a concentração mantida na superfície (aqui ). -
é o coeficiente de difusão ( ). -
é a função erro complementar, definida por , onde é a função erro. - Motivação curta (sem prova formal): essa solução surge da separação de variáveis e uso de condições iniciais e de contorno apropriadas; é a solução padrão em processos de difusão com superfície mantida em concentração fixa.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso objetivo e simplificando a equação para encontrar
.
- Queremos
em , com . Dividindo ambos os lados por :
- Substituindo os números relativos (razão das concentrações):
- Definindo
temos
- Então precisamos do inverso da erfc para obter
:
- Depois, isolamos
a partir de :
Passo 4
Conversões de unidades e preparação dos valores numéricos.
- Converter a profundidade para centímetros (pois
está em ): -
. Logo
-
- Calcular
:
- O coeficiente de difusão já está em
:
Passo 5
Como encontrar
de forma prática (explicação didática).
- Relação entre
e a função de distribuição normal acumulada :
- Como
, de obtemos:
- Então
- Agora precisamos do quantil da normal padrão tal que
. O quantil correspondente é aproximadamente (valor tabelado ou obtido por aproximação numérica). - Logo
- Observação: essa é uma forma prática e bem usada: transformar o problema para o quantil da normal e dividir por
. O valor numérico obtido é
Passo 6
Cálculo final do tempo
com todos os números.
- Primeiro calcule
:
- Calcular o denominador
:
Calcule passo a passo:
então
- Agora calcule
:
- Converter para minutos:
Passo 7
Interpretação e checagens rápidas (conforto para a prova).
- O tempo calculado é curto (~1 minuto), o que faz sentido porque estamos pedindo que a concentração a apenas
(profundidade muito pequena) atinja da concentração de superfície quando o coeficiente de difusão, embora pequeno, ainda permite difusão nessa escala curta de distância. - Conferência rápida da ordem de grandeza: como
tem ordem , o fator (aprox ) reduz para cerca de . Nosso cálculo dá , da mesma ordem de grandeza e consistente com o uso preciso do .