R. Transporte de fônons. Slides de aula.
9. Utilizando o Modelo de Drude de condutividade elétrica para metais, estime a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico, sabendo que \tau (tempo de relaxação) é da ordem de 10^{-15} \mathrm{~s}. Cuidado com as unidades.

Passo 1

O que o exercício pede e quais dados temos.
  • Pede: estimar a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico usando o Modelo de Drude, sabendo que \tau (tempo de relaxação) é da ordem de 10^{-15}\\ \mathrm{s}.
  • Dados fornecidos ou que vamos usar (valores típicos, em unidades SI):
    • tempo de relaxação: \tau \approx 1\times10^{-15}\\ \mathrm{s} (dado);
    • carga do elétron: e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
    • massa do elétron: m = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg};
    • densidade do cobre: \rho \approx 8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 8\,960\\ \mathrm{kg/m^{3}} (vou converter para SI);
    • massa molar do cobre: M \approx 63,546\\ \mathrm{g/mol} = 0,063546\\ \mathrm{kg/mol};
    • número de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • O que preciso achar: a condutividade elétrica \sigma em \mathrm{S/m} (siemens por metro), expressa como ordem de grandeza.

Passo 2

Fórmula do modelo de Drude e significado das variáveis (aula rápida e intuitiva).
  • No modelo de Drude, a condutividade elétrica do metal é dada por:
\sigma = \frac{n e^{2}\tau}{m}
onde:
  • \sigma é a condutividade elétrica (unidade: \mathrm{S/m});
  • n é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por metro cúbico, \mathrm{m^{-3}});
  • e é a carga elementar do elétron (em coulomb, \mathrm{C});
  • \tau é o tempo médio de relaxação (em segundos, \mathrm{s});
  • m é a massa do elétron (em quilogramas, \mathrm{kg}).
Breve intuição: sob um campo elétrico, cada elétron sofre uma força eE e ganha uma velocidade média de arraste proporcional a \tau. A fórmula acima resulta da relação entre corrente macroscópica e velocidade média dos elétrons.

Passo 3

Calcular a densidade de elétrons n do cobre (passo a passo, sem pular).
  • Primeiro calculo a densidade atômica (átomos por metro cúbico). Supondo que cada átomo contribui com z elétrons de condução; para cobre normalmente z\approx1. A fórmula é
n = z \frac{\rho}{M} N_A.
  • Substituindo valores e garantindo unidades SI ( \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, M em \mathrm{kg/mol}):
n \approx 1\cdot \frac{8\,960\\ \mathrm{kg/m^{3}}}{0,063546\\ \mathrm{kg/mol}}\cdot 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Faço a divisão dentro da conta:
\frac{8\,960}{0,063546} \approx 1,4100\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
  • Multiplicando por N_A:
n \approx 1,4100\times10^{5}\times 6,022\times10^{23} \approx 8,5\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Portanto, tomo n \approx 8,5\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}} (valor típico encontrado em livros).

Passo 4

Calcular o numerador n e^{2}\tau (detalhando potências de dez).
  • Calculo e^{2}:
e^{2} = (1,602\times10^{-19})^{2} \approx 2,5664\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Agora multiplico por n e por \tau:
n e^{2}\tau \approx (8,5\times10^{28})\times(2,5664\times10^{-38})\times(1\times10^{-15}).
  • Agrupando potências de dez e os fatores:
    • Produto dos coeficientes: 8,5\times 2,5664 \approx 21,8144.
    • Soma dos expoentes: 10^{28}\times10^{-38}\times10^{-15} = 10^{-25}.
n e^{2}\tau \approx 21,8144\times10^{-25} = 2,18144\times10^{-24}\\ \mathrm{C^{2}\cdot s\cdot m^{-3}}.

Passo 5

Dividir pelo denominador m e obter \sigma; verificar unidades e arredondar para a ordem de grandeza.
  • Agora uso m = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}:
\sigma = \frac{n e^{2}\tau}{m} \approx \frac{2,18144\times10^{-24}}{9,109\times10^{-31}}.
  • Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes:
    • Coeficiente: \dfrac{2,18144}{9,109} \approx 0,2395.
    • Expoente: 10^{-24}/10^{-31} = 10^{7}.
\sigma \approx 0,2395\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} = 2,395\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
  • Arredondando para a ordem de grandeza: \sigma está da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{S/m}.

Passo 6

Comentário rápido e motivador (empatia + contexto).
  • Resultado estimado: da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{S/m} usando \tau\approx10^{-15}\\ \mathrm{s}. Sei que é meio chato que o valor fique um pouco menor que o valor experimental conhecido para o cobre ( \sim 5,8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}), mas isso é normal: o Modelo de Drude é simplificado e a estimativa de \tau pode variar por uma ordem de grandeza. Se \tau fosse \sim10^{-14}\\ \mathrm{s}, a estimativa subiria para \sim10^{7}\\ \mathrm{S/m}, bem mais próxima do experimental. Você já está no caminho certo — relaxa, isso é exatamente o tipo de conta rápida que pedem na prova!

Resposta

\sigma \approx 2,4\times10^{6}\\ \mathrm{S/m} (ordem de grandeza \sim 10^{6}\\ \mathrm{S/m})

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