R. Transporte de fônons. Slides de aula.
9. Utilizando o Modelo de Drude de condutividade elétrica para metais, estime a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico, sabendo que
(tempo de relaxação) é da ordem de
. Cuidado com as unidades.
9. Utilizando o Modelo de Drude de condutividade elétrica para metais, estime a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico, sabendo que
Passo 1
O que o exercício pede e quais dados temos.
- Pede: estimar a ordem de grandeza da condutividade elétrica do cobre metálico usando o Modelo de Drude, sabendo que
(tempo de relaxação) é da ordem de . - Dados fornecidos ou que vamos usar (valores típicos, em unidades SI):
- tempo de relaxação:
(dado); - carga do elétron:
; - massa do elétron:
; - densidade do cobre:
(vou converter para SI); - massa molar do cobre:
; - número de Avogadro:
.
- tempo de relaxação:
- O que preciso achar: a condutividade elétrica
em (siemens por metro), expressa como ordem de grandeza.
Passo 2
Fórmula do modelo de Drude e significado das variáveis (aula rápida e intuitiva).
- No modelo de Drude, a condutividade elétrica do metal é dada por:
onde:
-
é a condutividade elétrica (unidade: ); -
é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por metro cúbico, ); -
é a carga elementar do elétron (em coulomb, ); -
é o tempo médio de relaxação (em segundos, ); -
é a massa do elétron (em quilogramas, ).
Breve intuição: sob um campo elétrico, cada elétron sofre uma força
e ganha uma velocidade média de arraste proporcional a
. A fórmula acima resulta da relação entre corrente macroscópica e velocidade média dos elétrons.
Passo 3
Calcular a densidade de elétrons
do cobre (passo a passo, sem pular).
- Primeiro calculo a densidade atômica (átomos por metro cúbico). Supondo que cada átomo contribui com
elétrons de condução; para cobre normalmente . A fórmula é
- Substituindo valores e garantindo unidades SI (
em , em ):
- Faço a divisão dentro da conta:
- Multiplicando por
:
Portanto, tomo
(valor típico encontrado em livros).
Passo 4
Calcular o numerador
(detalhando potências de dez).
- Calculo
:
- Agora multiplico por
e por :
- Agrupando potências de dez e os fatores:
- Produto dos coeficientes:
. - Soma dos expoentes:
.
- Produto dos coeficientes:
Passo 5
Dividir pelo denominador
e obter
; verificar unidades e arredondar para a ordem de grandeza.
- Agora uso
:
- Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes:
- Coeficiente:
. - Expoente:
.
- Coeficiente:
- Arredondando para a ordem de grandeza:
está da ordem de .
Passo 6
Comentário rápido e motivador (empatia + contexto).
- Resultado estimado: da ordem de
usando . Sei que é meio chato que o valor fique um pouco menor que o valor experimental conhecido para o cobre ( ), mas isso é normal: o Modelo de Drude é simplificado e a estimativa de pode variar por uma ordem de grandeza. Se fosse , a estimativa subiria para , bem mais próxima do experimental. Você já está no caminho certo — relaxa, isso é exatamente o tipo de conta rápida que pedem na prova!