Calcule a densidade planar (quantidade de átomos por unidade de área) do plano (110) de uma célula unitária Cúbica de Face Centrada. Considere o modelo de esferas rígidas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede a densidade planar do plano (110) de uma célula unitária cúbica de face centrada (FCC): isto é, a quantidade de átomos por unidade de área do plano (110).
Modelo: esferas rígidas (átomos como esferas que tocam segundo a geometria FCC).
Vou usar como parâmetro a constante de rede \,a\, (comprimento da aresta da célula unitária). Opcionalmente posso expressar o resultado em função do raio atômico \,R\, usando a relação FCC entre a e R.
Importante: a densidade planar se calcula como
\text{densidade planar}=\frac{\text{número de centros de átomos contidos na célula de rede 2D do plano}}{\text{área dessa célula de rede 2D}}.
Passo 2
Escolher uma célula de rede 2D no plano (110) e calcular sua área:
O plano (110) em coordenadas da célula cúbica tem equação do tipo x+y= constante e é paralelo ao eixo z. Uma escolha conveniente da célula 2D no plano é o paralelogramo gerado pelos vetores
O módulo de \mathbf{v}_1 é |\mathbf{v}_1|=a\sqrt{1^2+(-1)^2}=a\sqrt{2}. O módulo de \mathbf{v}_2 é |\mathbf{v}_2|=a.
Como \mathbf{v}_1 está no plano xy e \mathbf{v}_2 é paralelo a z, eles são perpendiculares. A área do paralelogramo (a célula 2D do plano) é o produto dos comprimentos:
Identificar e contar os centros de átomos que pertencem a essa célula 2D:
Coordenadas típicas dos átomos em FCC (em unidades de a) são: cantos em (0,0,0),(1,0,0),\dots e centros de faces em permutações de (\tfrac12,\tfrac12,0), (\tfrac12,0,\tfrac12), (0,\tfrac12,\tfrac12).
O plano que escolhemos corresponde, por exemplo, a x+y=1 (uma das famílias (110)). Os centros que satisfazem x+y=1 (com 0\le z<1) e que caem dentro do paralelogramo gerado acima são:
os dois átomos de canto nas posições (1,0,0) e (0,1,0);
o átomo do centro de face na posição (\tfrac12,\tfrac12,0).
Agora a regra de contribuição fracionária numa célula 2D:
um átomo cujo centro está num vértice da célula 2D é compartilhado por 4 células 2D adjacentes → contribui com 1/4;
um átomo cujo centro está numa aresta da célula 2D é compartilhado por 2 células 2D → contribui com 1/2;
um átomo estritamente interno contribui com 1.
Verificando as posições:
os dois cantos (1,0,0) e (0,1,0) são vértices da célula 2D → cada um contribui com 1/4;
o centro de face (\tfrac12,\tfrac12,0) fica no meio da aresta inferior do paralelogramo → contribui com 1/2.
Soma das contribuições dos centros de átomos na célula 2D:
Expressar também em função do raio atômico R (opcional, usando o modelo de esferas rígidas):
Na estrutura FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2} e corresponde a 4R (dois raios das extremidades + dois raios do átomo do centro de face):