Calcule a densidade planar (quantidade de átomos por unidade de área) do plano (110) de uma célula unitária Cúbica de Face Centrada. Considere o modelo de esferas rígidas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede a densidade planar do plano (110) de uma célula unitária cúbica de face centrada (FCC): isto é, a quantidade de átomos por unidade de área do plano (110).
  • Modelo: esferas rígidas (átomos como esferas que tocam segundo a geometria FCC).
  • Vou usar como parâmetro a constante de rede \,a\, (comprimento da aresta da célula unitária). Opcionalmente posso expressar o resultado em função do raio atômico \,R\, usando a relação FCC entre a e R.
  • Importante: a densidade planar se calcula como
\text{densidade planar}=\frac{\text{número de centros de átomos contidos na célula de rede 2D do plano}}{\text{área dessa célula de rede 2D}}.úáéáé

Passo 2

Escolher uma célula de rede 2D no plano (110) e calcular sua área:
  • O plano (110) em coordenadas da célula cúbica tem equação do tipo x+y= constante e é paralelo ao eixo z. Uma escolha conveniente da célula 2D no plano é o paralelogramo gerado pelos vetores
\mathbf{v}_1 = a\,(1,-1,0) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}_2 = a\,(0,0,1).
  • O módulo de \mathbf{v}_1 é |\mathbf{v}_1|=a\sqrt{1^2+(-1)^2}=a\sqrt{2}. O módulo de \mathbf{v}_2 é |\mathbf{v}_2|=a.
  • Como \mathbf{v}_1 está no plano xy e \mathbf{v}_2 é paralelo a z, eles são perpendiculares. A área do paralelogramo (a célula 2D do plano) é o produto dos comprimentos:
\text{área }A=|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2|=|\mathbf{v}_1|\,|\mathbf{v}_2|=a\sqrt{2}\cdot a=a^{2}\sqrt{2}.á

Passo 3

Identificar e contar os centros de átomos que pertencem a essa célula 2D:
  • Coordenadas típicas dos átomos em FCC (em unidades de a) são: cantos em (0,0,0),(1,0,0),\dots e centros de faces em permutações de (\tfrac12,\tfrac12,0), (\tfrac12,0,\tfrac12), (0,\tfrac12,\tfrac12).
  • O plano que escolhemos corresponde, por exemplo, a x+y=1 (uma das famílias (110)). Os centros que satisfazem x+y=1 (com 0\le z<1) e que caem dentro do paralelogramo gerado acima são:
    • os dois átomos de canto nas posições (1,0,0) e (0,1,0);
    • o átomo do centro de face na posição (\tfrac12,\tfrac12,0).
  • Agora a regra de contribuição fracionária numa célula 2D:
    • um átomo cujo centro está num vértice da célula 2D é compartilhado por 4 células 2D adjacentes → contribui com 1/4;
    • um átomo cujo centro está numa aresta da célula 2D é compartilhado por 2 células 2D → contribui com 1/2;
    • um átomo estritamente interno contribui com 1.
  • Verificando as posições:
    • os dois cantos (1,0,0) e (0,1,0) são vértices da célula 2D → cada um contribui com 1/4;
    • o centro de face (\tfrac12,\tfrac12,0) fica no meio da aresta inferior do paralelogramo → contribui com 1/2.
  • Soma das contribuições dos centros de átomos na célula 2D:
N=\underbrace{\tfrac14}_{(1,0,0)}+\underbrace{\tfrac14}_{(0,1,0)}+\underbrace{\tfrac12}_{(\tfrac12,\tfrac12,0)}=\tfrac14+\tfrac14+\tfrac12=1.
Logo há efetivamente 1 átomo por célula 2D do plano (110).

Passo 4

Calcular a densidade planar:
  • Pelo resultado anterior, número de átomos por célula 2D é N=1 e a área da célula 2D é A=a^{2}\sqrt{2}. Portanto
\text{densidade planar}=\frac{N}{A}=\frac{1}{a^{2}\sqrt{2}}.

Passo 5

Expressar também em função do raio atômico R (opcional, usando o modelo de esferas rígidas):
  • Na estrutura FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2} e corresponde a 4R (dois raios das extremidades + dois raios do átomo do centro de face):
a\sqrt{2}=4R \quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt{2}\,R.
  • Substituindo em \dfrac{1}{a^{2}\sqrt{2}}:
\text{densidade planar}=\frac{1}{\big(2\sqrt{2}\,R\big)^{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{8R^{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{8\sqrt{2}\,R^{2}}.

Resposta

\dfrac{1}{a^{2}\sqrt{2}}
\dfrac{1}{8\sqrt{2}\,R^{2}}

Exercícios relacionados