Centro de Massa e Forças Internas/Externas. Um sistema isolado é composto por duas partículas de massas diferentes, inicialmente em repouso. Elas interagem apenas por forças internas (ex: mola entre elas).
a) O centro de massa (CM) do sistema pode se mover? Justifique fisicamente.
b) Se as partículas começarem a se mover uma em direção à outra devido a uma força interna atrativa, a posição do CM mudará? Explique.
c) Como a presença de uma força externa afeta o movimento do CM? Relacione com a Segunda Lei de Newton.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Sistema: duas partículas com massas distintas m_1 e m_2.
  • Condição inicial: ambas em repouso.
  • Interação: apenas forças internas entre as partículas (por exemplo, uma mola).
  • Situação adicional considerada: em (c) aparece a hipótese de existir uma força externa.
Perguntas:
a) O centro de massa (CM) do sistema pode se mover? Justifique fisicamente.
b) Se as partículas começarem a se mover uma em direção à outra por uma força interna atrativa, a posição do CM mudará? Explique.
c) Como a presença de uma força externa afeta o movimento do CM? Relacione com a Segunda Lei de Newton.

Passo 2

Definição e fórmulas úteis (aulas práticas: o que é o CM e como calcular):
  • A posição do centro de massa do sistema de duas partículas é dada por
\mathbf{R}=\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2},
onde \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2 são as posições vetoriais das partículas e M=m_1+m_2 é a massa total.
  • A velocidade do CM é a derivada temporal de \mathbf{R}:
\mathbf{V}_{\rm CM}=\dot{\mathbf{R}}=\frac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2}{M},
onde \mathbf{v}_i=\dot{\mathbf{r}}_i.
  • O momento linear total do sistema é
\mathbf{P}=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 = M\mathbf{V}_{\rm CM}.
Essas relações mostram que estudar o CM é equivalente a estudar o momento linear total do sistema.

Passo 3

Conservação do momento para sistema isolado (explicação física e matemática):
  • Em mecânica clássica, se não há forças externas, o momento linear total \mathbf{P} do sistema é conservado (constante no tempo).
  • Explicação física curta e intuitiva: forças internas são pares ação–reação entre as partículas (Lei de Newton 3ª); essas forças trocam momento entre as partículas, mas a soma vetorial dos momentos não muda.
  • Matematicamente, para cada partícula i,
m_i\mathbf{a}_i=\mathbf{F}_i^{\rm (ext)}+\sum_{j\neq i}\mathbf{F}_{ij},
somando sobre i=1,2 e tomando \mathbf{F}_1^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_2^{\rm (ext)}=\mathbf{F}_{\rm ext}, obtemos
M\mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext}+\left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}\right).
Pelo princípio ação–reação tem-se \mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21}, portanto o termo entre parênteses se anula e ficamos com
M\mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext}.
  • Para um sistema isolado, \mathbf{F}_{\rm ext}=\mathbf{0}, logo \mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{0} e \mathbf{P} é constante.

Passo 4

Resposta para (a) com justificativa passo a passo:
  • Informação inicial: ambas as partículas estão em repouso, então \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2=\mathbf{0} no instante inicial.
  • Logo o momento total inicial é \mathbf{P}_0=m_1\mathbf{0}+m_2\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Como o sistema é isolado (sem forças externas), \mathbf{P}(t)=\mathbf{P}_0=\mathbf{0} para todo t.
  • Como \mathbf{V}_{\rm CM}=\mathbf{P}/M, segue \mathbf{V}_{\rm CM}=\mathbf{0} sempre.
  • Conclusão física para (a): o centro de massa não pode se mover (permanecerá em repouso) — porque não há força externa para mudar o momento total. Internamente as partículas trocam momento entre si, mas a soma permanece zero.

Passo 5

Resposta para (b) com demonstração e exemplo numérico didático:
  • Situação: aparece uma força interna atrativa e as partículas começam a mover-se uma em direção à outra.
  • Mesmo com movimento relativo, a velocidade do CM é dada por
\mathbf{V}_{\rm CM}=\frac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2}{M}.
  • Em sistema isolado \mathbf{P}=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 permanece zero (desde o início), então para todo instante
m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{V}_{\rm CM}=\mathbf{0}.
  • Portanto a posição do CM não muda com o movimento interno: o CM fica fixo no mesmo ponto do espaço.
  • Exemplo numérico simples para intuir: suponha m_1=2 kg em x_1=-1 m e m_2=1 kg em x_2=1 m. O CM é
X_{\rm CM}=\frac{2(-1)+1(1)}{2+1}=\frac{-1}{3}=-0,333\\ \text{m}.
Se depois da atração as partículas se aproximarem e as posições passarem a x_1=-0,5 m e x_2=0,5 m, o novo CM é
X_{\rm CM}=\frac{2(-0,5)+1(0,5)}{3}=\frac{-0,5}{3}=-0,166\ldots\\ \text{m},
o que só aconteceria se existisse momento total diferente de zero — mas nesse exemplo os valores de velocidade teriam de satisfazer 2v_1+1v_2=0 para manter \mathbf{P}=0. Em um processo real isolado as posições mudam de modo que o valor ponderado m_1x_1+m_2x_2 permaneça constante; portanto, sob atração interna, as partículas movem-se entre si mas a posição do CM não se desloca.
Observação intuitiva: o corpo mais pesado se desloca menos do que o mais leve, de modo que a média ponderada permaneça fixa.

Passo 6

Resposta para (c): efeito de forças externas e relação com a Segunda Lei de Newton (passo a passo e derivação):
  • Partindo das equações de Newton para cada partícula:
m_1\mathbf{a}_1=\mathbf{F}_1^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_{12},\qquad m_2\mathbf{a}_2=\mathbf{F}_2^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_{21}.
  • Somando:
m_1\mathbf{a}_1+m_2\mathbf{a}_2=\mathbf{F}_1^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_2^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}.
  • Usando \mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21} (ação–reação), esses termos internos se cancelam, sobrando
M\mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext},
onde \mathbf{F}_{\rm ext}=\mathbf{F}_1^{\rm (ext)}+\mathbf{F}_2^{\rm (ext)}.
  • Esta é a forma da Segunda Lei aplicada ao centro de massa: a força externa total sobre o sistema determina a aceleração do CM. Em palavras: forças externas aceleram (ou desaceleram) o CM exatamente como fariam se toda a massa do sistema estivesse concentrada no CM.
  • Consequências práticas: se \mathbf{F}_{\rm ext}\neq\mathbf{0} então \mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext}/M\neq\mathbf{0} e o CM acelera; se \mathbf{F}_{\rm ext}=\mathbf{0} então \mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{0} e o CM mantém movimento retilíneo uniforme (ou repouso, se \mathbf{V}_{\rm CM}=0), independentemente de movimentos internos.

Passo 7

Resumo final (prático e encorajador):
  • Internamente as partículas podem fazer qualquer acrobacia entre si, mas só forças externas movem o CM.
  • Se começar do repouso e sem forças externas, o CM fica no mesmo lugar: isso é consequência direta da conservação do momento.
  • Se houver forças externas, use \displaystyle M\mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext} para determinar o movimento do CM — é a Segunda Lei aplicada ao sistema como um todo.

Resposta

a) Não, se o sistema for isolado o centro de massa não se move (permanece com velocidade nula), porque o momento linear total é conservado e vale zero.
b) Não — o CM não muda de posição: movimentos causados por forças internas apenas alteram as posições relativas, mantendo a média ponderada m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2 constante (logo o CM permanece fixo).
c) Força(s) externa(s) fazem o CM acelerar segundo \displaystyle M\mathbf{a}_{\rm CM}=\mathbf{F}_{\rm ext}; isto é, a Segunda Lei aplicada ao sistema inteiro: somente forças externas alteram o momento total e, portanto, o movimento do CM.

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