Conservação de Momento (Colisão Inelástica). Um vagão ( m_{A}=2000 \mathrm{~kg} ) move-se a v_{A}= 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (direita) e colide com outro ( m_{A}=3000 \mathrm{~kg} ) em repouso. Após a colisão, acoplam-se. Calcule a velocidade final do sistema.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade final do sistema após a colisão:
  • Massa do vagão A: m_{A}=2000\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do vagão A: v_{A,i}=4\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
  • Massa do vagão B: m_{B}=3000\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do vagão B: v_{B,i}=0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
  • Após a colisão os vagões acoplam-se (colisão perfeitamente inelástica), movendo-se juntos com velocidade final v_f.
O que se pede: calcular v_f (módulo e direção).

Passo 2

Conceito e lei que vamos usar (explicação didática):
  • Momento linear (quantidade de movimento) de um corpo é definido por \vec p = m \vec v, onde m é a massa e \vec v a velocidade. As unidades são \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Em um sistema isolado (sem forças externas significativas na direção considerada durante o intervalo da colisão), o momento linear total é conservado. Isso significa que a soma dos momentos antes da colisão é igual à soma dos momentos depois:
\sum \vec p_{\text{antes}} = \sum \vec p_{\text{depois}}.
  • Como estamos considerando apenas movimento numa linha (direita/esquerda), podemos tratar as quantidades como escalares com sinal. Vou adotar o sentido “direita” como positivo. Assim números positivos indicam velocidade para a direita.

Passo 3

Equação de conservação do momento aplicada ao problema:
  • Antes da colisão o momento total é
p_{\text{antes}} = m_{A} v_{A,i} + m_{B} v_{B,i}.
  • Depois da colisão, como os vagões ficam acoplados, a massa total é m_{A}+m_{B} e a velocidade comum é v_f. O momento total depois é
p_{\text{depois}} = (m_{A}+m_{B}) v_f.
Igualando:
m_{A} v_{A,i} + m_{B} v_{B,i} = (m_{A}+m_{B}) v_f.
Isolando v_f:
v_f = \frac{m_{A} v_{A,i} + m_{B} v_{B,i}}{m_{A}+m_{B}}.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos e cálculo passo a passo:
  • Calcular o numerador:
m_{A} v_{A,i} + m_{B} v_{B,i} = 2000\cdot 4 + 3000\cdot 0 = 8000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Calcular o denominador:
m_{A}+m_{B} = 2000 + 3000 = 5000\\ \mathrm{kg}.
  • Dividindo:
v_f = \frac{8000}{5000} = 1{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Como o resultado é positivo (e adotamos direita como positiva), a direção é para a direita.

Passo 5

Observação física útil (para fixar o conceito): energia cinética não é conservada em colisões inelásticas.
  • Energia cinética inicial:
K_i = \tfrac{1}{2} m_{A} v_{A,i}^2 + \tfrac{1}{2} m_{B} v_{B,i}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot2000\cdot 4^2 + 0 = 16000\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final:
K_f = \tfrac{1}{2}(m_{A}+m_{B}) v_f^2 = \tfrac{1}{2}\cdot5000\cdot (1{,}6)^2 = 6400\\ \mathrm{J}.
  • Diferença (energia dissipada em deformação, calor, som etc.):
\Delta K = K_i - K_f = 16000 - 6400 = 9600\\ \mathrm{J}.
Isso mostra por que mesmo com conservação de momento a energia cinética pode diminuir em colisões inelásticas.

Resposta

v_f = 1{,}6\\ \mathrm{m/s} (para a direita)

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