Considerando propriedades constantes e nenhuma geração de calor no interior do corpo, determine as regiões onde a temperatura varia ao longo do tempo.
4) Rejeitos radioativos (condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{rr}} ) são armazenados em um recipiente esférico com raios interno e externo, respectivamente, iguais a \mathrm{r}_{\mathrm{i}} e \mathrm{r}_{\mathrm{e}}. Calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme \mathrm{q}_{\mathrm{g}}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}\right). A temperatura da superfície interna do recipiente é constante e igual a \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{i}} \mathrm{e} o sistema está em regime permanente. Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas \mathrm{T}(\mathrm{r}) nos rejeitos radioativos, expressando o resultado em termos de \mathrm{r}_{\mathrm{i}}, \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{i}}, \mathrm{k}_{\mathrm{rr}} e \mathrm{q}_{\mathrm{g}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Os rejeitos ocupam a região esférica interna de raio r_i (ou seja, 0\le r\le r_i).
    • Geração de calor volumétrica uniforme nos rejeitos: q_g (unidades \mathrm{W/m^3}).
    • Condutividade térmica dos rejeitos: k_{\mathrm{rr}} (constante).
    • A temperatura na superfície interna do recipiente (na interface rejeitos/recipiente), em r=r_i, é constante e igual a T_{s,i}.
    • O sistema está em regime permanente (estado estacionário).
  • O que o enunciado pede:
    • Obter a distribuição de temperatura T(r) nos rejeitos radioativos, expressa em termos de r_i,\;T_{s,i},\;k_{\mathrm{rr}} e q_g.
    • Domínio de interesse: 0\le r\le r_i.

Passo 2

Escrever a equação que rege o problema (fórmula e explicação física).
Em regime permanente e com propriedades constantes, a equação de condução de calor com geração volumétrica uniforme é
- \nabla\cdot\bigl(k_{\mathrm{rr}}\nabla T\bigr) = q_g.
Como k_{\mathrm{rr}} é constante, isto é equivalente a
\nabla^2 T = -\frac{q_g}{k_{\mathrm{rr}}}.
Pela simetria esférica (a temperatura depende só de r), o operador laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dT}{dr}\right).
Portanto a equação diferencial a resolver é
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q_g}{k_{\mathrm{rr}}},\qquad 0<r\le r_i.

Passo 3

Integração da equação diferencial — primeira integração.
Multiplicando por r^2 temos
\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q_g}{k_{\mathrm{rr}}}\,r^2.
Integrando em relação a r,
r^2\frac{dT}{dr} = -\frac{q_g}{k_{\mathrm{rr}}}\,\frac{r^3}{3} + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r^2,
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_g}{3k_{\mathrm{rr}}}\,r + \frac{C_1}{r^2}.

Passo 4

Condição de regularidade no centro e segunda integração.
Física e matematicamente, a temperatura deve ser finita em r=0. O termo \dfrac{C_1}{r^2} diverge quando r\to0 a menos que C_1=0. Portanto, pela condição de regularidade no centro, devemos ter
C_1 = 0.
Assim
\frac{dT}{dr} = -\frac{q_g}{3k_{\mathrm{rr}}}\,r.
Integramos novamente para obter T(r):
T(r) = -\frac{q_g}{3k_{\mathrm{rr}}}\,\frac{r^2}{2} + C_2 = -\frac{q_g}{6k_{\mathrm{rr}}}\,r^2 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno em r=r_i e obter a solução final.
Usando a condição de contorno T(r_i)=T_{s,i}, obtemos
T_{s,i} = -\frac{q_g}{6k_{\mathrm{rr}}}\,r_i^2 + C_2,
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C_2 = T_{s,i} + \frac{q_g}{6k_{\mathrm{rr}}}\,r_i^2.
Substituindo em T(r),
T(r) = T_{s,i} + \frac{q_g}{6k_{\mathrm{rr}}}\,\bigl(r_i^2 - r^2\bigr), \qquad 0\le r\le r_i.
Observações físicas rápidas: a temperatura é máxima no centro r=0,
T(0)=T_{s,i}+\frac{q_g}{6k_{\mathrm{rr}}}\,r_i^2,
e diminui quadraticamente até T_{s,i} na interface r=r_i.

Resposta

T(r)=T_{s,i}+\frac{q_g}{6\,k_{\mathrm{rr}}}\bigl(r_i^2-r^2\bigr),\qquad 0\le r\le r_i.

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