Considerando propriedades constantes e nenhuma geração de calor no interior do corpo, determine as regiões onde a temperatura varia ao longo do tempo.
4) Rejeitos radioativos (condutividade térmica
) são armazenados em um recipiente esférico com raios interno e externo, respectivamente, iguais a
e
. Calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme
. A temperatura da superfície interna do recipiente é constante e igual a
o sistema está em regime permanente. Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas
nos rejeitos radioativos, expressando o resultado em termos de
e
.
4) Rejeitos radioativos (condutividade térmica
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Os rejeitos ocupam a região esférica interna de raio
(ou seja, ). - Geração de calor volumétrica uniforme nos rejeitos:
(unidades ). - Condutividade térmica dos rejeitos:
(constante). - A temperatura na superfície interna do recipiente (na interface rejeitos/recipiente), em
, é constante e igual a . - O sistema está em regime permanente (estado estacionário).
- Os rejeitos ocupam a região esférica interna de raio
-
O que o enunciado pede:
- Obter a distribuição de temperatura
nos rejeitos radioativos, expressa em termos de e . - Domínio de interesse:
.
- Obter a distribuição de temperatura
Passo 2
Escrever a equação que rege o problema (fórmula e explicação física).
Em regime permanente e com propriedades constantes, a equação de condução de calor com geração volumétrica uniforme é
Como
é constante, isto é equivalente a
Pela simetria esférica (a temperatura depende só de
), o operador laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
Portanto a equação diferencial a resolver é
Passo 3
Integração da equação diferencial — primeira integração.
Multiplicando por
temos
Integrando em relação a
,
onde
é constante de integração. Dividindo por
,
Passo 4
Condição de regularidade no centro e segunda integração.
Física e matematicamente, a temperatura deve ser finita em
. O termo
diverge quando
a menos que
. Portanto, pela condição de regularidade no centro, devemos ter
Assim
Integramos novamente para obter
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Aplicar a condição de contorno em
e obter a solução final.
Usando a condição de contorno
, obtemos
logo
Substituindo em
,
Observações físicas rápidas: a temperatura é máxima no centro
,
e diminui quadraticamente até
na interface
.