Demonstrate that the product of a unitary operator
, times an antiunitary operator
, is an antiunitary operator.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o produto de um operador unitário
com um operador antiunitário
resulta em um operador antiunitário. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e anti-lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores unitários e antiunitários e como eles se comportam quando combinados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador unitário. Um operador
é unitário se ele satisfaz a relação:
Aqui,
é o operador adjunto de
, e
é o operador identidade. Basicamente, um operador unitário preserva a norma dos vetores no espaço de Hilbert, o que significa que ele mantém a “distância” e os “ângulos” entre vetores.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é um operador antiunitário. Um operador
é antiunitário se ele é antilinear e satisfaz:
Ser antilinear significa que para quaisquer escalares complexos
e
, e vetores
e
, o operador antiunitário atua assim:
Note que os coeficientes complexos são conjugados, diferentemente dos operadores lineares.
Passo 4
Agora, vamos considerar o produto
e mostrar que ele é antiunitário.
Primeiro, verificamos se
é antilinear:
-
é antilinear. -
é linear.
Quando um operador linear (como
) compõe com um operador antilinear (como
), o resultado é antilinear. Isso porque:
O operador resultante ancora os coeficientes complexos, mantendo a propriedade antilinear.
Agora, vamos verificar se
satisfaz a condição:
Sabemos que:
E então:
Portanto,
satisfaz a condição para ser antiunitário.
Resposta
Concluímos que o produto de um operador unitário
com um operador antiunitário
resulta em um operador antiunitário. Ou seja,
é um operador antiunitário.