Demonstrate that the product of a unitary operator U, times an antiunitary operator T, is an antiunitary operator.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o produto de um operador unitário U com um operador antiunitário T resulta em um operador antiunitário. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares e anti-lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores unitários e antiunitários e como eles se comportam quando combinados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador unitário. Um operador U é unitário se ele satisfaz a relação:
U^dag>=r U = U U^dag>=r = I
Aqui, U^dag>=r é o operador adjunto de U, e I é o operador identidade. Basicamente, um operador unitário preserva a norma dos vetores no espaço de Hilbert, o que significa que ele mantém a “distância” e os “ângulos” entre vetores.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é um operador antiunitário. Um operador T é antiunitário se ele é antilinear e satisfaz:
T^dag>=r T = T T^dag>=r = I
Ser antilinear significa que para quaisquer escalares complexos a e b, e vetores |psirang<= e |phirang<=, o operador antiunitário atua assim:
T(a|psirang<= + b|phirang<=) = a^* T|psirang<= + b^* T|phirang<=
Note que os coeficientes complexos são conjugados, diferentemente dos operadores lineares.

Passo 4

Agora, vamos considerar o produto UT e mostrar que ele é antiunitário.
Primeiro, verificamos se UT é antilinear:
  • T é antilinear.
  • U é linear.
Quando um operador linear (como U) compõe com um operador antilinear (como T), o resultado é antilinear. Isso porque:
UT(a|psirang<= + b|phirang<=) = U(a^* T|psirang<= + b^* T|phirang<=) = a^* UT|psirang<= + b^* UT|phirang<=
O operador resultante ancora os coeficientes complexos, mantendo a propriedade antilinear.
Agora, vamos verificar se UT satisfaz a condição:
(UT)^dag>=r (UT) = I
Sabemos que:
(UT)^dag>=r = T^dag>=r U^dag>=r
E então:
T^dag>=r U^dag>=r U T = T^dag>=r I T = T^dag>=r T = I
Portanto, UT satisfaz a condição para ser antiunitário.

Resposta

Concluímos que o produto de um operador unitário U com um operador antiunitário T resulta em um operador antiunitário. Ou seja, UT é um operador antiunitário.

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