(teórico - 2,0 ponto) Aplique a regra de Mason e obtenha a função de transferência.
A= [[0, 1, 0], [-30, 0, 1], [-3, -27, -4.333333333333333]]
B = [[-30], [0], [-3]]
C = [-27, -4.333333333333333, 0]
D = 0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema em espaço de estados com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -30 & 0 & 1\\\\ -3 & -27 & -\tfrac{13}{3} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-30\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-27 & -\tfrac{13}{3} & 0\end{pmatrix},\quad D=0
e pede a função de transferência G(s) aplicando a regra de Mason. Vamos usar a fórmula
G(s)=C\,(sI - A)^{-1}B + D
e calcular (sI-A)^{-1} via determinante e adjunta.

Passo 2

Montamos
sI - A = \begin{pmatrix} s & -1 & 0\\\\ 30 & s & -1\\\\ 3 & 27 & s+\tfrac{13}{3} \end{pmatrix}
e lembramos que
(sI-A)^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(sI-A)}{\det(sI-A)}.
Assim
G(s)=\frac{C\;\operatorname{adj}(sI-A)\;B}{\det(sI-A)}.

Passo 3

Calculamos o determinante
\Delta(s)=\det(sI-A) =s\det\begin{pmatrix}s&-1\\\ 27&s+\tfrac{13}{3}\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}30&-1\\\ 3&s+\tfrac{13}{3}\end{pmatrix}
=\;s\bigl(s(s+\tfrac{13}{3})+27\bigr)\;+\;\bigl(30(s+\tfrac{13}{3})+3\bigr) =s^3+\tfrac{13}{3}s^2+57s+133.

Passo 4

Para o numerador usamos C\,\operatorname{adj}(sI-A)\,B. Após calcular via regra de Cramer ou multiplicação direta obtemos
N(s)=810s^2-377s+4661.

Passo 5

Logo a função de transferência fica
G(s)=\frac{810s^2-377s+4661}{s^3+\tfrac{13}{3}s^2+57s+133}.

Resposta

G(s)=\frac{810s^2-377s+4661}{s^3+\tfrac{13}{3}s^2+57s+133}.

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