Consider the concept of an integrating factor used in Problems 29-38. Are the two equations
and
necessarily equivalent in the sense that a solution of one is also a solution of the other? Discuss.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compare as duas equações diferenciais
e
onde
é um fator integrante. Queremos saber se todo traço de solução da primeira também é solução da segunda e vice-versa.
Passo 2
Duas equações da forma
e
são ditas equivalentes se, no mesmo domínio, tiverem exatamente o mesmo conjunto de curvas-solução. Em particular, multiplicar uma forma diferencial por uma função não-nula não altera as curvas em que ela anula:
se em todo o domínio considerado, um par
satisfaz
se
se e somente se satisfaz
Passo 3
Na prática, quando escolhemos um fator integrante
procuramos
e contínua num domínio
. Assim, dentro de
as duas equações têm exatamente as mesmas soluções gerais, pois multipliquei por algo que nunca anula.
Passo 4
O cuidado é que, se em algum ponto ou linha
(ou
deixa de ser definida), a equação
pode ficar trivial naquela parte (quando
, vira
), admitindo soluções “extras” que não satisfazem a original
. Da mesma forma, singularidades de
podem excluir soluções que atravessariam essas curvas.
Resposta
As duas equações são equivalentes — isto é, têm o mesmo conjunto de soluções — desde que o fator integrante
seja contínuo e não-nulo no domínio em questão. Se
anula ou diverge em algum lugar, surgem ou se perdem soluções, e aí a equivalência deixa de valer.