Consider the concept of an integrating factor used in Problems 29-38. Are the two equations M d x+N d y=0 and mu M d x+mu N d y=0 necessarily equivalent in the sense that a solution of one is also a solution of the other? Discuss.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare as duas equações diferenciais
M,dx + N,dy = 0
e
mu,M,dx + mu,N,dy = 0,
onde mu=mu(x,y) é um fator integrante. Queremos saber se todo traço de solução da primeira também é solução da segunda e vice-versa.

Passo 2

Duas equações da forma P,dx + Q,dy = 0 e widetilde P,dx + widetilde Q,dy = 0 são ditas equivalentes se, no mesmo domínio, tiverem exatamente o mesmo conjunto de curvas-solução. Em particular, multiplicar uma forma diferencial por uma função não-nula não altera as curvas em que ela anula:
se mu(x,y)neq 0 em todo o domínio considerado, um par (x(t),y(t)) satisfaz
M,dot x + N,dot y = 0
se e somente se satisfaz
mu,M,dot x + mu,N,dot y = 0

Passo 3

Na prática, quando escolhemos um fator integrante mu procuramos muneq 0 e contínua num domínio D. Assim, dentro de D as duas equações têm exatamente as mesmas soluções gerais, pois multipliquei por algo que nunca anula.

Passo 4

O cuidado é que, se em algum ponto ou linha mu(x,y)=0 (ou mu deixa de ser definida), a equação
mu M,dx+mu N,dy=0 pode ficar trivial naquela parte (quando mu=0, vira 0,dx+0,dy=0), admitindo soluções “extras” que não satisfazem a original M,dx+N,dy=0. Da mesma forma, singularidades de mu podem excluir soluções que atravessariam essas curvas.

Resposta

As duas equações são equivalentes — isto é, têm o mesmo conjunto de soluções — desde que o fator integrante mu seja contínuo e não-nulo no domínio em questão. Se mu anula ou diverge em algum lugar, surgem ou se perdem soluções, e aí a equivalência deixa de valer.

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