Calcule o fluxo exterior do campo vetorial F(x, y, z)=(x z, y z, 1) através da fronteira da região W limitada pelo hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=25 e pelo plano z=3. (resp.: 128 pi.)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x z,,y z,,1) através de partial W, onde
W=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=25,;z>=3
é a região limitada pela porção superior da esfera de raio 5 e pelo plano z=3. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo de superfície num volume.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(x z)+partialpartial y(y z)+partialpartial z(1) = z+z+0=2z

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplapartial WFcdot n,dS =integral triplaW(nablacdot F),dV =integral triplaW2z,dV
Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), temos dV=r,dr,dtheta,dz e W dado por
0<=theta<=2pi, 3<= z<=5, 0<= r<=raiz25-z^2
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integral triplaW2z,dV =integral0^2pi!integralz=3^5!integralr=0^raiz25-z^22z,r,dr,dz,dtheta

Passo 4

Fazemos primeiro a integral em r:
integral0^raiz25-z^22z,r,dr =2zcdot12l(raiz25-z^2r)^2 =z,(25-z^2)

Passo 5

Então o fluxo vira
integral0^2pi!dtheta;integral3^5z,(25-z^2),dz =2piintegral3^5(25z-z^3),dz
Calculando
integral(25z-z^3),dz =252z^2-14z^4,
avaliado de 3 a 5
l(tfrac252cdot25-tfrac14cdot625r) -l(tfrac252cdot9-tfrac14cdot81r) =6254-3694=64
Multiplicando por 2pi resulta 128pi.

Resposta

128pi.

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