Determine the row rank of matrix A given by:
A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 4 & 4 & 5 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right]
and also the row rank of matrix \mathrm{A}^{\top}.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\[3pt] 3 & 4 & 4 & 5 & 1\\[3pt] 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
e pede duas coisas:
  • Determinar o posto das linhas (row rank) de A.
  • Determinar o posto das linhas (row rank) de A^{\top}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A é uma matriz 3\times5 (3 linhas e 5 colunas).
  • Não há outras informações externas; tudo que precisamos está na própria matriz.]

Passo 2

O que significa “posto das linhas” de uma matriz, de forma bem prática (aula rápida):
  • O posto das linhas de A é o número máximo de linhas de A que são linearmente independentes.
  • Operações elementares sobre linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo) não mudam o espaço gerado pelas linhas, logo não mudam o posto das linhas. Em outras palavras, fazemos eliminação por linhas (escalonamento) sem alterar o número de linhas independentes.
  • Para encontrar o posto das linhas, é comum aplicar eliminação de Gauss (escalonamento por linhas) e contar quantas linhas não nulas permanecem no escalonamento reduzido.
Vou então escalonar A por operações de linha e contar as linhas não nulas resultantes.

Passo 3

Começo com as linhas originais (denotando por R_1,R_2,R_3 as linhas):
R_1=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 & 0\end{bmatrix}, \qquad R_2=\begin{bmatrix}3 & 4 & 4 & 5 & 1\end{bmatrix}, \qquad R_3=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & 1 & 1\end{bmatrix}.
Usarei R_1 como pivô na primeira coluna e zerarei abaixo:
  • Substituo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • Substituo R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos essas operações passo a passo (faça igual na prova; nada de calculadora complicada):
  • Para R_2 - 3R_1: R_2-3R_1=\begin{bmatrix} 3-3\cdot1 & 4-3\cdot2 & 4-3\cdot1 & 5-3\cdot2 & 1-3\cdot0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}.
  • Para R_3 - R_1: R_3-R_1=\begin{bmatrix} 1-1 & 0-2 & 2-1 & 1-2 & 1-0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}.
Após essas operações a matriz fica:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\[3pt] 0 & -2 & 1 & -1 & 1\\[3pt] 0 & -2 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Observe que, depois do passo anterior, R_2 e R_3 são exatamente iguais:
R_2 = R_3 = \begin{bmatrix}0 & -2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}.
Isso já indica dependência linear entre as linhas: não podemos ter ambas como independentes se são idênticas. Para completar o escalonamento, zere a linha 3 usando a linha 2:
  • Substitua R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Então R_3 vira a linha nula:
R_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.
Agora a matriz escalonada é
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\[3pt] 0 & -2 & 1 & -1 & 1\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Contagem final: restaram exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras). Pelo procedimento de escalonamento (que preserva o posto das linhas), o número máximo de linhas linearmente independentes é 2. Portanto o posto das linhas de A é 2.
Além disso, podemos escrever explicitamente a dependência linear entre as linhas originais para reforçar a ideia (útil na prova):
a partir de R_2-3R_1 = R_3-R_1 (vimos isso no escalonamento), rearranjando obtemos
R_2 - 2R_1 - R_3 = 0,
ou seja
R_2 = 2R_1 + R_3.
Isso mostra que R_2 é combinação linear de R_1 e R_3, então as três linhas não podem ser independentes.

Passo 6

Agora sobre A^{\top}: lembre que as linhas de A^{\top} são as colunas de A. Dois fatos fundamentais e fáceis de usar na prova:
  • O posto das linhas de A^{\top} é igual ao posto das colunas de A (porque linhas de A^{\top} = colunas de A).
  • Teorema do posto: o posto das linhas de A é igual ao posto das colunas de A. Em símbolos, \mathrm{rank}_{\text{linha}}(A)=\mathrm{rank}_{\text{coluna}}(A).
    Combinando, obtemos
\mathrm{rank}_{\text{linha}}(A^{\top})=\mathrm{rank}_{\text{coluna}}(A)=\mathrm{rank}_{\text{linha}}(A).
Como já determinamos \mathrm{rank}_{\text{linha}}(A)=2, segue que
\mathrm{rank}_{\text{linha}}(A^{\top})=2.
(Na prática de prova: é suficiente lembrar que a operação de transposição não muda o posto da matriz.)

Resposta

\mathrm{rank}_{\text{linha}}(A)=2
\mathrm{rank}_{\text{linha}}(A^{\top})=2

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