Determinar o posto das linhas (row rank) de A^{\top}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A é uma matriz 3\times5 (3 linhas e 5 colunas).
Não há outras informações externas; tudo que precisamos está na própria matriz.]
Passo 2
O que significa “posto das linhas” de uma matriz, de forma bem prática (aula rápida):
O posto das linhas de A é o número máximo de linhas de A que são linearmente independentes.
Operações elementares sobre linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo) não mudam o espaço gerado pelas linhas, logo não mudam o posto das linhas. Em outras palavras, fazemos eliminação por linhas (escalonamento) sem alterar o número de linhas independentes.
Para encontrar o posto das linhas, é comum aplicar eliminação de Gauss (escalonamento por linhas) e contar quantas linhas não nulas permanecem no escalonamento reduzido.
Vou então escalonar A por operações de linha e contar as linhas não nulas resultantes.
Passo 3
Começo com as linhas originais (denotando por R_1,R_2,R_3 as linhas):
Isso já indica dependência linear entre as linhas: não podemos ter ambas como independentes se são idênticas. Para completar o escalonamento, zere a linha 3 usando a linha 2:
Substitua R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Então R_3 vira a linha nula:
Contagem final: restaram exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras). Pelo procedimento de escalonamento (que preserva o posto das linhas), o número máximo de linhas linearmente independentes é 2. Portanto o posto das linhas de A é 2.
Além disso, podemos escrever explicitamente a dependência linear entre as linhas originais para reforçar a ideia (útil na prova):
a partir de R_2-3R_1 = R_3-R_1 (vimos isso no escalonamento), rearranjando obtemos
R_2 - 2R_1 - R_3 = 0,
ou seja
R_2 = 2R_1 + R_3.
Isso mostra que R_2 é combinação linear de R_1 e R_3, então as três linhas não podem ser independentes.
Passo 6
Agora sobre A^{\top}: lembre que as linhas de A^{\top} são as colunas de A. Dois fatos fundamentais e fáceis de usar na prova:
O posto das linhas de A^{\top} é igual ao posto das colunas de A (porque linhas de A^{\top} = colunas de A).
Teorema do posto: o posto das linhas de A é igual ao posto das colunas de A. Em símbolos, \mathrm{rank}_{\text{linha}}(A)=\mathrm{rank}_{\text{coluna}}(A).
Combinando, obtemos