Show that the matrices are equivalent, indicating the sequence of elementary row operations used to reduce matrix A to the upper triangular matrix U .
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad e \quad U=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & -5 & -5 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}
e pede para mostrar que ela é equivalente à matriz triangular superior
U=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{bmatrix},
indicando a sequência de operações elementares de linha que transforma A em U.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz inicial é A (mostrada acima).
  • A matriz alvo é U (mostrada acima).
  • Deve ser dada a sequência de operações elementares de linha que reduz A para U.]

Passo 2

O que são operações elementares de linha (remoção didática e passo a passo):
  • Tipo 1: trocar duas linhas, escrito por exemplo R_i \leftrightarrow R_j.
  • Tipo 2: multiplicar uma linha por um escalar não nulo, escrito por exemplo kR_i (quando necessário).
  • Tipo 3: adicionar a uma linha um múltiplo de outra, escrito por exemplo R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
Essas operações não mudam o espaço linha da matriz no sentido de equivalência por linhas; elas produzem matrizes equivalentes (mesmo sistema linear associado). A estratégia é aplicar essas operações para criar zeros abaixo dos pivôs, obtendo uma forma triangular superior.

Passo 3

Observação inicial que guia as operações: a segunda linha de A já é [1\\\ 3\\\ 2], que coincide com a primeira linha de U. Para facilitar, trocamos R_1 com R_2 para ter pivô 1 na posição (1,1). Essa é a operação
R_1 \leftrightarrow R_2.
Aplicando esta troca obtemos a matriz
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos o pivô \,1 em (1,1) para zerar as entradas abaixo dele nas colunas 1:
  • Para zerar a posição (2,1) fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Cálculo entrada a entrada: R_2: \\ (2,\,1,\, -1) - 2(1,\,3,\,2) = (2-2,\,1-6,\, -1-4) = (0,\,-5,\,-5).
  • Para zerar a posição (3,1) fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
    Cálculo entrada a entrada: R_3: \\ (4,\,2,\,1) - 4(1,\,3,\,2) = (4-4,\,2-12,\,1-8) = (0,\,-10,\,-7).
Após essas operações a matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & -10 & -7 \end{bmatrix}.]

Passo 5

O próximo pivô natural é a entrada -5 em posição (2,2). Usamos esse pivô para zerar a entrada (3,2) (que é -10). Fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,
porque -10 - 2(-5) = -10 +10 = 0.
Cálculo entrada a entrada para R_3:
R_3: \\ (0,\,-10,\,-7) - 2(0,\,-5,\,-5) = (0,\,-10+10,\,-7+10) = (0,\,0,\,3).
Após esta operação a matriz é exatamente
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{bmatrix},
que coincide com a matriz U fornecida.]

Passo 6

Resumo didático das operações aplicadas (cada operação é uma operação elementar de linha que preserva equivalência):
  1. R_1 \leftrightarrow R_2.
  2. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  3. R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
  4. R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
A aplicação sequencial dessas operações transforma A em U, portanto A e U são equivalentes por linhas.

Resposta

R_1 \leftrightarrow R_2
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1
R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2
U=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}]

Exercícios relacionados