Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde
é a curva obtida pela intersecção da superfície cilíndrica descrita por
(superfície que tem como base no plano
a fronteira do quadrado
e tem como eixo o eixo
), com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha:
onde
é uma curva específica formada pela interseção de uma superfície cilíndrica com um plano. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície. Precisamos conhecer o teorema, entender o que é uma integral de linha e de superfície, e saber como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
O Teorema de Stokes nos diz que:
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. Aqui,
é o campo vetorial dado.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
(já que não depende de ) -
-
-
-
-
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha
como contorno. A curva
é a interseção da superfície cilíndrica
com o plano
.
Essa superfície cilíndrica forma a borda de um quadrado no plano
, com lados de
a
tanto para
quanto para
. A interseção com o plano
cria a curva
.
Vamos escolher
como a parte da superfície cilíndrica limitada pela curva
. Precisamos determinar o vetor normal
dessa superfície.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal
, precisamos considerar a orientação da curva
, que é anti-horária vista de cima. Como estamos trabalhando com a superfície cilíndrica, o vetor normal será paralelo ao eixo
.
Portanto, podemos escolher
. Isso simplifica nossa integral de superfície, pois apenas a componente
do rotacional contribuirá.
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Ou seja:
Passo 7
Para calcular essa integral de superfície, vamos parametrizar a superfície
. Como
está na superfície cilíndrica
, podemos variar
e
dentro de
.
A integral se torna:
Passo 8
Vamos resolver a integral dupla separadamente para cada termo:
- Integral de
:
A integral de
de
a
é
que resulta em
, mas como multiplicamos por -1, temos que esse termo se anula pela simetria.
- Integral de
:
Como
não depende de
, a integral interna é:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de linha é igual a
.