a) Prove by induction that \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>4.
b) Prove that the sequence is convergent.
c) Show that 4 is the infimum of the set of terms of the sequence.
Passo 1
O enunciado define a sequência \left(u_{n}\right) por recorrência
Mostrar por indução que \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n}>4.
Demonstrar que a sequência é convergente.
Mostrar que 4 é o ínfimo do conjunto \{u_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}.
Informações úteis extraídas do enunciado (já só rearranjando a recorrência):
u_{n+1}=5-\frac{4}{u_{n}}.
Não começo a resolver aqui; só enumerei o que é pedido e as fórmulas que temos.]
Passo 2
Prova por indução de que \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n}>4.
Primeiro, explicando rapidamente o método de indução: para provar uma afirmação P(n) para todo n\in\mathbb{N} mostramos (i) a base P(1) e (ii) que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k. Feito isso, a propriedade vale para todos n.
Base n=1: temos u_{1}=5. Como 5>4, a propriedade é verdadeira para n=1.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha u_{k}>4. Usamos a forma
u_{k+1}=5-\frac{4}{u_{k}}.
Como u_{k}>4>0, o termo \dfrac{4}{u_{k}} é positivo e satisfaz
\frac{4}{u_{k}}<\frac{4}{4}=1.
Logo
u_{k+1}=5-\frac{4}{u_{k}}>5-1=4.
Portanto u_{k+1}>4. Assim a implicação indutiva vale e, por indução, \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n}>4.
Passo 3
Mostrar que a sequência é monótona decrescente (isso nos ajudará a concluir convergência).
Vamos calcular a diferença entre termos consecutivos. Partindo da expressão u_{n+1}=5-\dfrac{4}{u_{n}},
Agora, usando o resultado do Passo 2, sabemos que u_{n}>4 para todo n. Então u_{n}-1>0 e u_{n}-4>0, e também u_{n}>0. Assim o numerador (u_{n}-1)(u_{n}-4) é positivo, o denominador u_{n} é positivo, então a fração é positiva; com o sinal negativo na frente obtemos
u_{n+1}-u_{n}<0.
Portanto \forall n,\;u_{n+1}<u_{n}: a sequência é estritamente decrescente.]
Passo 4
Concluir convergência usando monotonicidade e limitacão inferior.
Do Passo 2 sabemos que u_{n}>4 para todo n, logo a sequência é limitada inferiormente por 4. Do Passo 3 sabemos que a sequência é estritamente decrescente. Uma sequência real que é monotonicamente decrescente e limitada inferiormente converge (teorema do monotone convergence; intuição: as parcelas formam um intervalo fechado e seus pontos não podem “escapar”, então têm um limite). Portanto \left(u_{n}\right) é convergente.
Passo 5
Determinar o limite.
Seja L=\lim_{n\to\infty}u_{n}. Como a sequência converge, podemos passar ao limite na relação de recorrência. A função x\mapsto 5-\dfrac{4}{x} é contínua para x\neq 0, e como todos os u_{n}>4 em particular não são zero, é legítimo tomar limite dos dois lados:
Multiplicando por L (note L\neq 0 porque L\ge 4), obtemos a equação quadrática
L^{2}=5L-4,
ou
L^{2}-5L+4=0.
Resolvendo:
(L-1)(L-4)=0,
portanto as raízes são L=1 e L=4. Mas pelo Passo 2 temos u_{n}>4 para todo n, logo qualquer limite acumulado deve satisfazer L\ge 4. Assim L não pode ser 1. Concluímos
L=4.
Passo 6
Mostrar que 4 é o ínfimo do conjunto \{u_{n}\}.
Definição usada: um número m é ínfimo de um conjunto S\subset\mathbb{R} se (i) m é uma cota inferior de S (isto é, \forall s\in S,\;m\le s) e (ii) para qualquer \varepsilon>0 existe s\in S tal que s<m+\varepsilon (isto mostra que não existe cota inferior maior que m).
(i) Pelo Passo 2, \forall n,\;u_{n}>4, logo 4 é uma cota inferior do conjunto \{u_{n}\}.
(ii) Como \lim_{n\to\infty}u_{n}=4, para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N temos |u_{n}-4|<\varepsilon. Como todos os u_{n}>4, isso implica 4<u_{n}<4+\varepsilon para n suficientemente grande. Em particular existe algum n com u_{n}<4+\varepsilon. Portanto não existe cota inferior maior que 4.
Juntando (i) e (ii), 4 é o ínfimo do conjunto \{u_{n}\}.
Resposta
a) \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n}>4.
b) A sequência \left(u_{n}\right) converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}u_{n}=4.
c) 4 é o ínfimo do conjunto \{u_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}.