For each item, provide, when possible, examples of sequences u, v, and w such that u_{n} \rightarrow+\infty, v_{n} \rightarrow-\infty, and w_{n} \rightarrow 0.
f) \frac{u_{n}}{w_{n}} \rightarrow-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar (quando possível) sequências u=(u_n), v=(v_n) e w=(w_n) tais que
u_n \rightarrow +\infty,\qquad v_n \rightarrow -\infty,\qquad w_n \rightarrow 0
e, além disso, que se verifique
\frac{u_n}{w_n} \rightarrow -1.
Aqui o que temos de usar é exatamente as informações acima: o comportamento assintótico de u_n (vai para +\infty) e de w_n (vai para 0), e a exigência sobre o quociente.

Passo 2

Vou explicar por que essa combinação é impossível: se u_n \to +\infty e w_n \to 0, então o módulo do quociente \left|\dfrac{u_n}{w_n}\right| tende a +\infty. Isso impede a convergência para um número finito como -1.
Prova detalhada e passo a passo (sem pular etapas):
  1. Tome um número arbitrário M>0. A ideia é mostrar que, eventualmente, \left|\dfrac{u_n}{w_n}\right|>M, para qualquer M escolhido — isto é a definição de divergência para +\infty.
  2. Como u_n \rightarrow +\infty, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 temos u_n > M. (Explicando: ser "tender para +\infty" significa que para qualquer limite desejado M existe um índice a partir do qual todos os termos passam a ser maiores que M.)
  3. Como w_n \rightarrow 0, existe N_2 tal que para todo n\ge N_2 temos |w_n|<1. (Escolhi 1 por simplicidade; qualquer constante positiva serviria para dar a desigualdade que precisamos.)
  4. Para n\ge N=\max\{N_1,N_2\} juntamos as duas desigualdades: u_n>M e |w_n|<1. Assim
\left|\frac{u_n}{w_n}\right|=\frac{u_n}{|w_n|}>\frac{M}{|w_n|}> \frac{M}{1}=M.
  1. Como M>0 era arbitrário, concluímos que \left|\dfrac{u_n}{w_n}\right| fica maior que qualquer M para n suficientemente grande; ou seja,
\left|\frac{u_n}{w_n}\right|\longrightarrow +\infty.
  1. Logo \dfrac{u_n}{w_n} não pode convergir para um número finito (como -1). Portanto a situação pedida é impossível.

Passo 3

Resumo intuitivo e conclusão prática: se o numerador cresce sem limite e o denominador vai a zero, o quociente explode em módulo — não pode tender a um número finito. Por isso não há como construir sequências u e w com as propriedades pedidas que façam \dfrac{u_n}{w_n}\to-1. O mesmo raciocínio vale se tentarmos usar v_n (tendendo a -\infty) no lugar de u_n: o módulo do quociente também diverge, então também não dá para obter limite finito -1.

Resposta

Não existe: é impossível ter u_n\to+\infty, w_n\to0 e \dfrac{u_n}{w_n}\to-1.

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