For each item, provide, when possible, examples of sequences u, v, and w such that u_{n} \rightarrow+\infty, v_{n} \rightarrow-\infty, and w_{n} \rightarrow 0.
f) \frac{u_{n}}{w_{n}} \rightarrow-1
Passo 1
O enunciado pede: encontrar (quando possível) sequências u=(u_n), v=(v_n) e w=(w_n) tais que
Aqui o que temos de usar é exatamente as informações acima: o comportamento assintótico de u_n (vai para +\infty) e de w_n (vai para 0), e a exigência sobre o quociente.
Passo 2
Vou explicar por que essa combinação é impossível: se u_n \to +\infty e w_n \to 0, então o módulo do quociente \left|\dfrac{u_n}{w_n}\right| tende a +\infty. Isso impede a convergência para um número finito como -1.
Prova detalhada e passo a passo (sem pular etapas):
Tome um número arbitrário M>0. A ideia é mostrar que, eventualmente, \left|\dfrac{u_n}{w_n}\right|>M, para qualquer M escolhido — isto é a definição de divergência para +\infty.
Como u_n \rightarrow +\infty, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 temos u_n > M. (Explicando: ser "tender para +\infty" significa que para qualquer limite desejado M existe um índice a partir do qual todos os termos passam a ser maiores que M.)
Como w_n \rightarrow 0, existe N_2 tal que para todo n\ge N_2 temos |w_n|<1. (Escolhi 1 por simplicidade; qualquer constante positiva serviria para dar a desigualdade que precisamos.)
Para n\ge N=\max\{N_1,N_2\} juntamos as duas desigualdades: u_n>M e |w_n|<1. Assim
Logo \dfrac{u_n}{w_n} não pode convergir para um número finito (como -1). Portanto a situação pedida é impossível.
Passo 3
Resumo intuitivo e conclusão prática: se o numerador cresce sem limite e o denominador vai a zero, o quociente explode em módulo — não pode tender a um número finito. Por isso não há como construir sequências u e w com as propriedades pedidas que façam \dfrac{u_n}{w_n}\to-1. O mesmo raciocínio vale se tentarmos usar v_n (tendendo a -\infty) no lugar de u_n: o módulo do quociente também diverge, então também não dá para obter limite finito -1.
Resposta
Não existe: é impossível ter u_n\to+\infty, w_n\to0 e \dfrac{u_n}{w_n}\to-1.