The sequences (
) and (
) verify the following conditions:
(i)
.
(ii)
is decreasing.
Decide whether the following statements are true or false and give a justification for the answers provided.
a)
is convergent.
b)
is convergent.
c) (
) is decreasing.
(i)
(ii)
a)
b)
c) (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para decidir verdade/falsidade de três afirmações.
Informações dadas:
- Para todo
vale . - A sequência
é decrescente (isto é, para todo ).
Perguntas:
a) A sequência é convergente?
b) A sequência é convergente?
c) A sequência é decrescente?
a) A sequência
b) A sequência
c) A sequência
Passo 2
Preparação teórica necessária (ferramenta principal que usaremos):
- Teorema do monotone convergence (caso decrescente): se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, então ela converge. Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e simples.
Prova curta do teorema (intuição e passos que você pode usar na prova):
- Seja
decrescente e limitada inferiormente. Defina
Pela definição de ínfimo,
é um limite inferior:
para todo
, e é o maior número com essa propriedade.
2. Para mostrar que , pegue qualquer
. Como
é o ínfimo,
não é um limite inferior, então existe algum índice
com
2. Para mostrar que
- Como a sequência é decrescente, para todo
temos , logo
- Assim
para todo , o que prova .
Resumo: decrescente + existe uma cota inferior finita
convergente (para o ínfimo).
Passo 3
Aplicação ao item (a):
- Pelas hipóteses temos
para todo . Em particular, para todo , então é uma cota inferior de . - Como
é decrescente e tem cota inferior , pelo teorema acima ela é convergente. - Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Comentário pedagógico sobre consequência: sabemos agora que existe
tal que
. Mas atenção: isso não impõe automaticamente que qualquer sequência
com
tenha limite — é preciso mais informação sobre
.
Vou mostrar por que apenas saber
e
não garante
.
Passo 5
Contraexemplo para o item (b) (mostrando que pode ser falso):
- Escolha uma sequência simples
Esta sequência é decrescente (na prática é constante, o que vale como decrescente) e convergente para
.
- Defina então
por
Verificações:
- Para todo
, logo a condição
é satisfeita. - A sequência
alterna entre e , portanto não tem limite (tem duas subsequências com limites diferentes). - Conclusão: existe um exemplo que satisfaz as hipóteses do enunciado mas tal que
não converge. Assim a afirmação (b) é falsa.]
Passo 6
Explanação didática sobre o que esse contraexemplo nos ensina:
- Ter
limitado (aqui e converge então é limitada, logo também é limitada) não garante convergência. Boundedness ≠ convergence. - Convergência exige controle adicional (por exemplo, monotonicidade de
ou que se aproxime de de forma específica, etc.). Sem essa informação extra, pode oscilar.
Passo 7
Contraexemplo para o item (c) (mostrando que pode ser falso):
- Podemos usar o mesmo exemplo do passo anterior: com
e alternando entre e . - Observação:
nem sempre é (por exemplo, se é par então e ), portanto não é necessariamente decrescente. - Conclusão: a afirmação (c) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.