The sequences ( u_{n} ) and ( v_{n} ) verify the following conditions:
(i) \forall n \in \mathbb{N} 0<u_{n}<v_{n}.
(ii) \left(v_{n}\right) is decreasing.
Decide whether the following statements are true or false and give a justification for the answers provided.
a) \left(v_{n}\right) is convergent.
b) \left(u_{n}\right) is convergent.
c) ( u_{n} ) is decreasing.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para decidir verdade/falsidade de três afirmações.
Informações dadas:
  • Para todo n\in\mathbb{N} vale 0<u_{n}<v_{n}.
  • A sequência \left(v_{n}\right) é decrescente (isto é, v_{n+1}\le v_n para todo n).
Perguntas:
a) A sequência \left(v_{n}\right) é convergente?
b) A sequência \left(u_{n}\right) é convergente?
c) A sequência \left(u_{n}\right) é decrescente?

Passo 2

Preparação teórica necessária (ferramenta principal que usaremos):
  • Teorema do monotone convergence (caso decrescente): se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, então ela converge. Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e simples.
Prova curta do teorema (intuição e passos que você pode usar na prova):
  1. Seja \left(v_{n}\right) decrescente e limitada inferiormente. Defina
L=\inf\{v_n:\\ n\in\mathbb{N}\}.
Pela definição de ínfimo, L é um limite inferior: L\le v_n para todo n, e é o maior número com essa propriedade.
2. Para mostrar que v_n\to L, pegue qualquer \varepsilon>0. Como L é o ínfimo, L+\varepsilon não é um limite inferior, então existe algum índice N com
v_N < L+\varepsilon.
  1. Como a sequência é decrescente, para todo n\ge N temos v_n\le v_N, logo
L \le v_n \le v_N < L+\varepsilon.
  1. Assim |v_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N, o que prova v_n\to L.
Resumo: decrescente + existe uma cota inferior finita \Rightarrow convergente (para o ínfimo).

Passo 3

Aplicação ao item (a):
  • Pelas hipóteses temos 0<u_n<v_n para todo n. Em particular, v_n>0 para todo n, então 0 é uma cota inferior de \{v_n\}.
  • Como \left(v_n\right) é decrescente e tem cota inferior 0, pelo teorema acima ela é convergente.
  • Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Comentário pedagógico sobre consequência: sabemos agora que existe L\ge 0 tal que \lim_{n\to\infty} v_n = L. Mas atenção: isso não impõe automaticamente que qualquer sequência u_n com 0<u_n<v_n tenha limite — é preciso mais informação sobre u_n.
Vou mostrar por que apenas saber 0<u_n<v_n e \lim v_n não garante \lim u_n.

Passo 5

Contraexemplo para o item (b) (mostrando que pode ser falso):
  • Escolha uma sequência simples \left(v_n\right)\) que satisfaça as hipóteses e cujo limite seja conhecido. Por exemplo, tome \[v_n = 1\quad\text{para todo }n.
Esta sequência é decrescente (na prática é constante, o que vale como decrescente) e convergente para 1.
  • Defina então \left(u_n\right) por
u_n = \begin{cases} \dfrac{3}{4}, & \text{se }n\text{ é ímpar},\\[6pt] \dfrac{1}{4}, & \text{se }n\text{ é par}. \end{cases}éíé
Verificações:
  • Para todo n\] temos \(0<u_n<1=v_n, logo a condição 0<u_n<v_n é satisfeita.
  • A sequência \left(u_n\right) alterna entre 3/4 e 1/4, portanto não tem limite (tem duas subsequências com limites diferentes).
  • Conclusão: existe um exemplo que satisfaz as hipóteses do enunciado mas tal que \left(u_n\right) não converge. Assim a afirmação (b) é falsa.]

Passo 6

Explanação didática sobre o que esse contraexemplo nos ensina:
  • Ter u_n limitado (aqui 0<u_n< v_n e v_n converge então v_n é limitada, logo u_n também é limitada) não garante convergência. Boundedness ≠ convergence.
  • Convergência exige controle adicional (por exemplo, monotonicidade de u_n ou que u_n se aproxime de v_n de forma específica, etc.). Sem essa informação extra, u_n pode oscilar.

Passo 7

Contraexemplo para o item (c) (mostrando que pode ser falso):
  • Podemos usar o mesmo exemplo do passo anterior: com v_n=1 e u_n alternando entre 3/4 e 1/4.
  • Observação: u_{n+1} nem sempre é \le u_n (por exemplo, se n é par então u_n=1/4 e u_{n+1}=3/4>u_n), portanto \left(u_n\right) não é necessariamente decrescente.
  • Conclusão: a afirmação (c) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.

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