Determine whether or not the signals below are periodic and, for each signal that is periodic, determine the fundamental period.
x(n)=\sin (\pi+0.2 n)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal discreto
x(n)=\sin\bigl(\pi+0.2\,n\bigr)
é periódico, e, em caso afirmativo, determinar o período fundamental. O conteúdo envolvido é a condição de periodicidade de sinais senoidais em tempo discreto.

Passo 2

Em tempo discreto, uma senóide
\sin\bigl(\omega_{0}n+\varphi\bigr)
é periódica se existir um inteiro N>0 e um inteiro m tais que
\omega_{0}N = 2\pi m.
Nesse caso, N é um período (não necessariamente fundamental) e o período fundamental N_{0} é o menor N>0 que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

No nosso sinal, o ângulo de frequência é
\omega_{0}=0.2
e há um deslocamento de fase \varphi=\pi. Podemos usar a identidade
\sin(\pi+\theta) = -\sin(\theta)
para escrever
x(n)=\sin\bigl(\pi+0.2\,n\bigr) = -\sin\bigl(0.2\,n\bigr).
Isso mostra que a fase \pi só introduz uma inversão de sinal; a frequência permanece \omega_{0}=0.2.

Passo 4

Aplicando a condição de periodicidade, buscamos N inteiro tal que
0.2\,N = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{2\pi m}{0.2} = 10\pi\,m.
Como \pi é irracional, 10\pi\,m nunca será um inteiro para qualquer m\neq0. Portanto, não existe N>0 inteiro que satisfaça a condição.

Passo 5

Como não conseguimos encontrar nenhum inteiro N>0 que torne \omega_{0}N múltiplo exato de 2\pi, o sinal não é periódico em tempo discreto.

Resposta

O sinal x(n)=\sin(\pi+0.2\,n) não é periódico.

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