Consider the set of polynomials
defined over the interval of
. Using the Gram-Schmidt orthogonalization process, obtain an orthonormal set.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dado o conjunto de polinômios
definido no intervalo . - Pede-se obter, usando o processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal baseado em
. - Vou usar o produto interno padrão em
, ou seja
- Informação implícita que vou usar: o processo de Gram–Schmidt transforma um conjunto linearmente independente
em um conjunto ortonormal onde cada passo consiste em subtrair projeções sobre os vetores já ortonormalizados e depois normalizar.
Passo 2
Primeiro vetor:
.
Calcular a norma ao quadrado de
:
Logo o primeiro vetor ortonormal é
Explicação curta: para normalizar dividimos pelo comprimento (raiz da integral do quadrado).
Passo 3
Segundo vetor:
.
Calcular a projeção de
sobre
:
A integral
porque
é função ímpar e o intervalo é simétrico. Portanto
, isto é,
já é ortogonal a
.
Assim o vetor ortogonalizado é
.
Calcular a norma de
:
Normalizando:
Passo 4
Terceiro vetor:
.
Calcular projeção de
sobre
:
A projeção sobre
vale
.
Calcular projeção de
sobre
:
A integral
pois
é ímpar. Logo
.
Portanto o vetor ortogonalizado é
Comentário: isso coincide (até constante) com o polinômio de Legendre de ordem 2; é a peça que resta de
depois de retirar a componente constante.
Passo 5
Calcular a norma de
. Expandir o quadrado e integrar termo a termo:
Calcular cada integral:
Substituindo:
Logo
Normalizando:
Podemos escrever essa forma de modo mais compacto usando o polinômio
. Observando que
, tem-se
(Verificação rápida da igualdade de constantes: dividir e simplificar dá o mesmo fator.)
Passo 6
Verificação (rápida, por construção):
- Por Gram–Schmidt os vetores
e foram feitos ortogonais a e ; depois normalizados, os têm norma 1 e são mutuamente ortogonais. Exemplos de integrais que dão zero: , . As normas foram calculadas explicitamente.