Consider the set of polynomials S=\left\{1 t t^{2}\right\} defined over the interval of -1 \leq t \leq 1. Using the Gram-Schmidt orthogonalization process, obtain an orthonormal set.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dado o conjunto de polinômios S=\{1,\; t,\; t^{2}\} definido no intervalo -1 \le t \le 1.
  • Pede-se obter, usando o processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal baseado em S.
  • Vou usar o produto interno padrão em L^{2}([-1,1]), ou seja
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.
  • Informação implícita que vou usar: o processo de Gram–Schmidt transforma um conjunto linearmente independente \{v_{1},v_{2},v_{3}\} em um conjunto ortonormal \{e_{1},e_{2},e_{3}\} onde cada passo consiste em subtrair projeções sobre os vetores já ortonormalizados e depois normalizar.

Passo 2

Primeiro vetor: v_{1}=1.
Calcular a norma ao quadrado de v_{1}:
\|v_{1}\|^{2}=\langle 1,1\rangle=\int_{-1}^{1} 1\cdot 1\,dt=2.
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Explicação curta: para normalizar dividimos pelo comprimento (raiz da integral do quadrado).

Passo 3

Segundo vetor: v_{2}=t.
Calcular a projeção de v_{2} sobre e_{1}:
\langle v_{2},e_{1}\rangle=\left\langle t,\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1} t\,dt.
A integral \int_{-1}^{1} t\,dt=0 porque t é função ímpar e o intervalo é simétrico. Portanto \langle v_{2},e_{1}\rangle=0, isto é, t já é ortogonal a e_{1}.
Assim o vetor ortogonalizado é u_{2}=v_{2}-\langle v_{2},e_{1}\rangle e_{1}=t.
Calcular a norma de u_{2}:
\|u_{2}\|^{2}=\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}.
Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{t}{\sqrt{2/3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\;t.

Passo 4

Terceiro vetor: v_{3}=t^{2}.
Calcular projeção de v_{3} sobre e_{1}:
\langle v_{3},e_{1}\rangle=\left\langle t^{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3\sqrt{2}}.
A projeção sobre e_{1} vale \langle v_{3},e_{1}\rangle e_{1}=\dfrac{2}{3\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}.
Calcular projeção de v_{3} sobre e_{2}:
\langle v_{3},e_{2}\rangle=\left\langle t^{2},\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,t\right\rangle=\sqrt{\tfrac{3}{2}}\int_{-1}^{1} t^{3}\,dt.
A integral \int_{-1}^{1} t^{3}\,dt=0 pois t^{3} é ímpar. Logo \langle v_{3},e_{2}\rangle=0.
Portanto o vetor ortogonalizado é
u_{3}=v_{3}-\langle v_{3},e_{1}\rangle e_{1}-\langle v_{3},e_{2}\rangle e_{2}=t^{2}-\frac{1}{3}.
Comentário: isso coincide (até constante) com o polinômio de Legendre de ordem 2; é a peça que resta de t^{2} depois de retirar a componente constante.

Passo 5

Calcular a norma de u_{3}=t^{2}-\dfrac{1}{3}. Expandir o quadrado e integrar termo a termo:
\|u_{3}\|^{2}=\int_{-1}^{1}\left(t^{2}-\frac{1}{3}\right)^{2}dt =\int_{-1}^{1}\left(t^{4}-\frac{2}{3}t^{2}+\frac{1}{9}\right)dt.
Calcular cada integral:
\int_{-1}^{1} t^{4}\,dt=\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{5}, \qquad \int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\frac{2}{3}, \qquad \int_{-1}^{1} 1\,dt=2.
Substituindo:
\|u_{3}\|^{2}=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{9}\cdot 2 =\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.
Logo
\|u_{3}\|=\sqrt{\frac{8}{45}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}.
Normalizando:
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\frac{t^{2}-\tfrac{1}{3}}{\sqrt{8/45}}.
Podemos escrever essa forma de modo mais compacto usando o polinômio 3t^{2}-1. Observando que t^{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}(3t^{2}-1), tem-se
e_{3}=\sqrt{\frac{5}{8}}\,(3t^{2}-1).
(Verificação rápida da igualdade de constantes: dividir e simplificar dá o mesmo fator.)

Passo 6

Verificação (rápida, por construção):
  • Por Gram–Schmidt os vetores u_{2} e u_{3} foram feitos ortogonais a e_{1} e e_{2}; depois normalizados, os \{e_{1},e_{2},e_{3}\} têm norma 1 e são mutuamente ortogonais. Exemplos de integrais que dão zero: \int_{-1}^{1} t\,dt=0, \int_{-1}^{1} t^{3}\,dt=0. As normas foram calculadas explicitamente.

Resposta

\displaystyle e_{1}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle e_{2}(t)=\sqrt{\frac{3}{2}}\;t
\displaystyle e_{3}(t)=\sqrt{\frac{5}{8}}\;(3t^{2}-1)

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