Resolva o sistema linear usando fatoração Q R :
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\\\ -2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 6 \\\\ 20 \\\\ 14 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A x = b, com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] -2 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}6\\[4pt]20\\[4pt]14\end{pmatrix}.
O pedido é: resolver o sistema usando fatoração Q R.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • O vetor b é \begin{pmatrix}6&20&14\end{pmatrix}^{T}.
  • Deve-se obter Q ortogonal (ou seja, com colunas unitárias e mutuamente ortogonais) e R triangular superior, e depois resolver R x = Q^{T} b.]

Passo 2

Explicando o método (Gram–Schmidt, passo a passo, sem pular etapas).
  • A ideia da fatoração Q R é escrever A = Q R, com Q tendo colunas ortonormais q_{1},q_{2},q_{3} e R triangular superior.
  • Tomamos as colunas de A como vetores \,a_{1},a_{2},a_{3}\, onde a_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad a_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad a_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix}.
  • Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} e os normaliza: u_{1}=a_{1},\qquad q_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|},
u_{2}=a_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{2}) =a_{2}-\frac{\langle a_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1},
u_{3}=a_{3}-\sum_{j=1}^{2}\operatorname{proj}_{u_{j}}(a_{3}) =a_{3}-\frac{\langle a_{3},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} -\frac{\langle a_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2},
e depois q_{2}=u_{2}/\|u_{2}\|,\;q_{3}=u_{3}/\|u_{3}\|.
  • As entradas de R são r_{ij}=\langle q_{i},a_{j}\rangle (para i\le j). Em particular r_{ii}=\|u_{i}\|.]

Passo 3

Compute u_{1}, q_{1} e primeiras entradas de R.
  • u_{1}=a_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Norma: \|u_{1}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}.
  • Vetor unitário: q_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Entradas r_{1j}=\langle q_{1},a_{j}\rangle: r_{11}=\|u_{1}\|=\sqrt{6},
r_{12}=\langle q_{1},a_{2}\rangle=\frac{\langle a_{1},a_{2}\rangle}{\|u_{1}\|} =\frac{(1)(2)+(-2)(3)+(1)(0)}{\sqrt{6}}=\frac{-4}{\sqrt{6}},
r_{13}=\langle q_{1},a_{3}\rangle=\frac{\langle a_{1},a_{3}\rangle}{\|u_{1}\|} =\frac{(1)(1)+(-2)(4)+(1)(5)}{\sqrt{6}}=\frac{-2}{\sqrt{6}}.]

Passo 4

Compute u_{2}, q_{2} e r_{22},r_{23}.
  • Projeção de a_{2} em u_{1}=a_{1}: \operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{2})=\frac{\langle a_{2},a_{1}\rangle}{\langle a_{1},a_{1}\rangle}a_{1} =\frac{-4}{6}a_{1}=-\frac{2}{3}a_{1}.
  • Então u_{2}=a_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{2}) =a_{2}+\frac{2}{3}a_{1} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8/3\\[4pt]5/3\\[4pt]2/3\end{pmatrix}.
  • Norma de u_{2}: \|u_{2}\|^{2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2} =\frac{64+25+4}{9}=\frac{93}{9}=\frac{31}{3},
\|u_{2}\|=\frac{\sqrt{93}}{3}.
  • Vetor unitário: q_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{1}{\sqrt{93}}\begin{pmatrix}8\\[4pt]5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Entradas: r_{22}=\|u_{2}\|=\frac{\sqrt{93}}{3},
r_{23}=\langle q_{2},a_{3}\rangle =\frac{\langle u_{2},a_{3}\rangle}{\|u_{2}\|} =\frac{\frac{38}{3}}{\frac{\sqrt{93}}{3}}=\frac{38}{\sqrt{93}},
onde foi usado \langle u_{2},a_{3}\rangle=(8/3)\cdot1+(5/3)\cdot4+(2/3)\cdot5=38/3.]

Passo 5

Compute u_{3}, q_{3} e r_{33}.
  • Projeções: \operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{3})=\frac{\langle a_{3},a_{1}\rangle}{\langle a_{1},a_{1}\rangle}a_{1} =\frac{-2}{6}a_{1}=-\frac{1}{3}a_{1}.
\operatorname{proj}_{u_{2}}(a_{3})=\frac{\langle a_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2} =\frac{38/3}{31/3}\,u_{2}=\frac{38}{31}u_{2}.
  • Então u_{3}=a_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(a_{3}).Calculando explicitamente (fazer as contas com denominadores comuns): u_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1/3\\[4pt]2/3\\[4pt]-1/3\end{pmatrix} -\frac{38}{31}\begin{pmatrix}8/3\\[4pt]5/3\\[4pt]2/3\end{pmatrix} =\frac{20}{31}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]7\end{pmatrix}.(a conta deu exatamente esse fator comum — conservar passos aritméticos: projeção u_{1} convertida para denominador 93, soma das projeções e subtração de a_{3} conduz ao vetor acima).
  • Norma: \|u_{3}\|^{2}=\frac{1}{31^{2}}\big((-60)^{2}+40^{2}+140^{2}\big) =\frac{24800}{961}=\frac{800}{31},
\|u_{3}\|=\sqrt{\frac{800}{31}}.
  • Vetor unitário: q_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|} =\frac{\frac{20}{31}(-3,2,7)^{T}}{\sqrt{800/31}}.
  • Entrada: r_{33}=\|u_{3}\|=\sqrt{\frac{800}{31}}.
Até aqui temos a fatoração A=Q R com colunas q_{1},q_{2},q_{3} e R triangular com entradas calculadas:
R=\begin{pmatrix} \sqrt{6} & -\dfrac{4}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}}\\[8pt] 0 & \dfrac{\sqrt{93}}{3} & \dfrac{38}{\sqrt{93}}\\[8pt] 0 & 0 & \sqrt{\dfrac{800}{31}} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Formar y=Q^{T}b. Em vez de usar explicitamente os vetores unitários com radicais, usa-se a relação q_{i}=\dfrac{u_{i}}{\|u_{i}\|} para calcular \langle q_{i},b\rangle=\dfrac{\langle u_{i},b\rangle}{\|u_{i}\|}, o que evita radicais longos.
  • Primeiro calcule \langle a_{1},b\rangle: \langle a_{1},b\rangle=1\cdot6+(-2)\cdot20+1\cdot14=-20.Logo y_{1}=\langle q_{1},b\rangle=\frac{\langle a_{1},b\rangle}{\|u_{1}\|}=\frac{-20}{\sqrt{6}}.
  • Segundo, \langle u_{2},b\rangle com u_{2}=(8/3,5/3,2/3): \langle u_{2},b\rangle=\frac{8}{3}\cdot6+\frac{5}{3}\cdot20+\frac{2}{3}\cdot14=\frac{176}{3}.Assim y_{2}=\frac{\langle u_{2},b\rangle}{\|u_{2}\|}=\frac{176/3}{\sqrt{93}/3}=\frac{176}{\sqrt{93}}.
  • Terceiro, \langle u_{3},b\rangle com u_{3}=\dfrac{20}{31}(-3,2,7): \langle u_{3},b\rangle=\frac{20}{31}\big((-3)\cdot6+2\cdot20+7\cdot14\big) =\frac{20}{31}\cdot 120=\frac{2400}{31}.Logo y_{3}=\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|} =\frac{2400/31}{\sqrt{800/31}}.Observação útil (e muito prática para a prova): x_{3} aparecerá em seguida como x_{3}=\frac{y_{3}}{r_{33}}=\frac{\langle u_{3},b\rangle/\|u_{3}\|}{\|u_{3}\|} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|^{2}} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\langle u_{3},u_{3}\rangle},o que evita radicais — e é precisamente o que vamos usar.
Então o vetor y=Q^{T}b tem componentes
y_{1}=-\frac{20}{\sqrt{6}},\qquad y_{2}=\frac{176}{\sqrt{93}},\qquad y_{3}=\frac{2400/31}{\sqrt{800/31}}.

Passo 7

Resolver R x = y\) por substituição regressiva, aproveitando cancelamentos que eliminam radicais. O sistema triangular é \[\begin{cases} r_{11}x_{1}+r_{12}x_{2}+r_{13}x_{3}=y_{1},\\[6pt] r_{22}x_{2}+r_{23}x_{3}=y_{2},\\[6pt] r_{33}x_{3}=y_{3}. \end{cases}
  • Comece por (x_{3}]. Como observado,
    x_{3}=\frac{y_{3}}{r_{33}} =\frac{\langle u_{3},b\rangle/\|u_{3}\|}{\|u_{3}\|} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|^{2}} =\frac{\dfrac{2400}{31}}{\dfrac{800}{31}}=\frac{2400}{800}=3.
  • Agora a segunda equação. Para evitar radicais multiplica-se convenientemente por \dfrac{3}{\sqrt{93}} (ou usa-se diretamente as formas em u_{2}):
    r_{22}x_{2}+r_{23}x_{3}=y_{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{93}}{3}x_{2}+\frac{38}{\sqrt{93}}x_{3}=\frac{176}{\sqrt{93}}.
    Multiplicando ambos os lados por \dfrac{3}{\sqrt{93}} obtém-se
    x_{2}+\frac{38}{31}x_{3}=\frac{176}{31}.
    Substituindo x_{3}=3:
    x_{2}+\frac{38}{31}\cdot 3=\frac{176}{31} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{176-114}{31}=\frac{62}{31}=2.
  • Finalmente a primeira equação. Escrevendo-a multiplicada por \sqrt{6} para eliminar aqueles denominadores:
    \sqrt{6}\,r_{11}x_{1}+\sqrt{6}\,r_{12}x_{2}+\sqrt{6}\,r_{13}x_{3}=\sqrt{6}\,y_{1}
    mas como r_{11}=\sqrt{6} e r_{12}=-\dfrac{4}{\sqrt{6}},\,r_{13}=-\dfrac{2}{\sqrt{6}},\,y_{1}=-\dfrac{20}{\sqrt{6}}, isso dá
    6x_{1}-4x_{2}-2x_{3}=-20.
    Substituindo x_{2}=2 e x_{3}=3:
    6x_{1}-4\cdot 2-2\cdot 3=-20 \quad\Longrightarrow\quad 6x_{1}-8-6=-20 \quad\Longrightarrow\quad 6x_{1}=-6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-1.]

Resposta

x_{1}=-1
x_{2}=2
x_{3}=3

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