O pedido é: resolver o sistema usando fatoração Q R.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 3\times3.
O vetor b é \begin{pmatrix}6&20&14\end{pmatrix}^{T}.
Deve-se obter Q ortogonal (ou seja, com colunas unitárias e mutuamente ortogonais) e R triangular superior, e depois resolver R x = Q^{T} b.]
Passo 2
Explicando o método (Gram–Schmidt, passo a passo, sem pular etapas).
A ideia da fatoração Q R é escrever A = Q R, com Q tendo colunas ortonormais q_{1},q_{2},q_{3} e R triangular superior.
Tomamos as colunas de A como vetores \,a_{1},a_{2},a_{3}\, ondea_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad a_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad a_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} e os normaliza:u_{1}=a_{1},\qquad q_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|},
Projeção de a_{2} em u_{1}=a_{1}:\operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{2})=\frac{\langle a_{2},a_{1}\rangle}{\langle a_{1},a_{1}\rangle}a_{1} =\frac{-4}{6}a_{1}=-\frac{2}{3}a_{1}.
Norma de u_{2}:\|u_{2}\|^{2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2} =\frac{64+25+4}{9}=\frac{93}{9}=\frac{31}{3},
Entãou_{3}=a_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(a_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(a_{3}).Calculando explicitamente (fazer as contas com denominadores comuns):u_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1/3\\[4pt]2/3\\[4pt]-1/3\end{pmatrix} -\frac{38}{31}\begin{pmatrix}8/3\\[4pt]5/3\\[4pt]2/3\end{pmatrix} =\frac{20}{31}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]7\end{pmatrix}.(a conta deu exatamente esse fator comum — conservar passos aritméticos: projeção u_{1} convertida para denominador 93, soma das projeções e subtração de a_{3} conduz ao vetor acima).
Formar y=Q^{T}b. Em vez de usar explicitamente os vetores unitários com radicais, usa-se a relação q_{i}=\dfrac{u_{i}}{\|u_{i}\|} para calcular \langle q_{i},b\rangle=\dfrac{\langle u_{i},b\rangle}{\|u_{i}\|}, o que evita radicais longos.
Primeiro calcule \langle a_{1},b\rangle:\langle a_{1},b\rangle=1\cdot6+(-2)\cdot20+1\cdot14=-20.Logoy_{1}=\langle q_{1},b\rangle=\frac{\langle a_{1},b\rangle}{\|u_{1}\|}=\frac{-20}{\sqrt{6}}.
Segundo, \langle u_{2},b\rangle com u_{2}=(8/3,5/3,2/3):\langle u_{2},b\rangle=\frac{8}{3}\cdot6+\frac{5}{3}\cdot20+\frac{2}{3}\cdot14=\frac{176}{3}.Assimy_{2}=\frac{\langle u_{2},b\rangle}{\|u_{2}\|}=\frac{176/3}{\sqrt{93}/3}=\frac{176}{\sqrt{93}}.
Terceiro, \langle u_{3},b\rangle com u_{3}=\dfrac{20}{31}(-3,2,7):\langle u_{3},b\rangle=\frac{20}{31}\big((-3)\cdot6+2\cdot20+7\cdot14\big) =\frac{20}{31}\cdot 120=\frac{2400}{31}.Logoy_{3}=\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|} =\frac{2400/31}{\sqrt{800/31}}.Observação útil (e muito prática para a prova): x_{3} aparecerá em seguida comox_{3}=\frac{y_{3}}{r_{33}}=\frac{\langle u_{3},b\rangle/\|u_{3}\|}{\|u_{3}\|} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|^{2}} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\langle u_{3},u_{3}\rangle},o que evita radicais — e é precisamente o que vamos usar.
Resolver R x = y\) por substituição regressiva, aproveitando cancelamentos que eliminam radicais.
O sistema triangular é
\[\begin{cases} r_{11}x_{1}+r_{12}x_{2}+r_{13}x_{3}=y_{1},\\[6pt] r_{22}x_{2}+r_{23}x_{3}=y_{2},\\[6pt] r_{33}x_{3}=y_{3}. \end{cases}
Comece por (x_{3}]. Como observado, x_{3}=\frac{y_{3}}{r_{33}} =\frac{\langle u_{3},b\rangle/\|u_{3}\|}{\|u_{3}\|} =\frac{\langle u_{3},b\rangle}{\|u_{3}\|^{2}} =\frac{\dfrac{2400}{31}}{\dfrac{800}{31}}=\frac{2400}{800}=3.
Agora a segunda equação. Para evitar radicais multiplica-se convenientemente por \dfrac{3}{\sqrt{93}} (ou usa-se diretamente as formas em u_{2}):