Resolva o sistema linear usando fatoração Q R :
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=14 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2}+6 x_{3}=32 \\\\ 7 x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}=-5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear usando fatoração Q R. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Sistema (vou escrever na forma matricial A x = b):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 4 & 5 & 6\\[4pt] 7 & -3 & -2 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}14\\[4pt]32\\[4pt]-5\end{pmatrix}.
  • O que se pede: encontrar x resolvendo A x = b por meio da fatoração A = Q R, onde Q tem colunas ortonormais e R é triangular superior. Depois se resolve R x = Q^{T} b por substituição regressiva.
Informações relevantes dadas (peguei os coeficientes das linhas do enunciado): as colunas de A são
a_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix},\quad a_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]-3\end{pmatrix},\quad a_{3}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Rápida aula: o que é a fatoração Q R e como a vamos obter (Gram–Schmidt clássico, passo a passo).
  • Ideia: escrevemos A=[a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}]. Aplicamos Gram–Schmidt para produzir vetores ortogonais v_{1},v_{2},v_{3} e então normalizá‑los para obter q_{1},q_{2},q_{3}. As relações padrão são, para i<j,
r_{ii}=\|v_{i}\|,\qquad q_{i}=\frac{v_{i}}{r_{ii}},
r_{ij}=q_{i}^{T}a_{j},
v_{j}=a_{j}-\sum_{i=1}^{j-1} r_{ij} q_{i}.
O resultado é A=Q R onde Q=[q_{1}\\ q_{2}\\ q_{3}] (colunas ortonormais) e
R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\[4pt] 0 & r_{22} & r_{23}\\[4pt] 0&0& r_{33} \end{pmatrix}.
  • Depois, para resolver A x=b, usamos Q R x=b. Multiplicando por Q^{T} (como Q^{T}Q=I) obtemos
R x = Q^{T} b.
Como R é triangular superior, resolve‑se por substituição regressiva.
Agora aplico isso passo a passo ao nosso A.]

Passo 3

Primeiro vetor v_{1}=a_{1}. Calcule:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix},\qquad r_{11}=\|v_{1}\|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+7^{2}}=\sqrt{66}.
Portanto
q_{1}=\frac{1}{\sqrt{66}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Projete a_{2} sobre q_{1} e forme v_{2}.
Calcule o coeficiente
r_{12}=q_{1}^{T}a_{2}=\frac{1\cdot 2 + 4\cdot 5 + 7\cdot(-3)}{\sqrt{66}}=\frac{1}{\sqrt{66}}.
Note que aqui usei explicitamente o produto interno v_{1}^{T}a_{2}=1, e depois dividi por r_{11}=\sqrt{66}.
Agora
v_{2}=a_{2}-r_{12} q_{1}=a_{2}-\frac{1}{\sqrt{66}}\frac{1}{\sqrt{66}} v_{1} = a_{2}-\frac{1}{66}v_{1}.
Substituindo vetores (peguei os coeficientes dos vetores das colunas do enunciado):
v_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]-3\end{pmatrix}-\frac{1}{66}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix} =\frac{1}{66}\begin{pmatrix}131\\[4pt]326\\[4pt]-205\end{pmatrix}.
Agora o comprimento
r_{22}=\|v_{2}\|=\sqrt{\frac{165462}{4356}}=\frac{\sqrt{165462}}{66}.
(Esta expressão vem de v_{2}^{T}v_{2}=(1/4356)\cdot(131^{2}+326^{2}+(-205)^{2}), cujo numerador é 165462.)
Finalmente
q_{2}=\frac{v_{2}}{r_{22}}=\frac{\dfrac{1}{66}[131,326,-205]^{T}}{\dfrac{\sqrt{165462}}{66}} =\frac{1}{\sqrt{165462}}\begin{pmatrix}131\\[4pt]326\\[4pt]-205\end{pmatrix}.]

Passo 5

Projete a_{3} sobre q_{1} e q_{2} e forme v_{3}.
Primeiro coeficiente com q_{1}:
r_{13}=q_{1}^{T}a_{3}=\frac{1\cdot 3 + 4\cdot 6 + 7\cdot(-2)}{\sqrt{66}}=\frac{13}{\sqrt{66}}.
Coeficiente com q_{2}:
v_{2}^{T}a_{3}=\frac{2759}{66}\quad\text{(calculei o produto usando }v_{2}=\tfrac{1}{66}[131,326,-205]^{T}\text{)},
portanto
r_{23}=\frac{v_{2}^{T}a_{3}}{r_{22}}=\frac{2759/66}{\sqrt{165462}/66}=\frac{2759}{\sqrt{165462}}.
Agora
v_{3}=a_{3}-r_{13}q_{1}-r_{23}q_{2}.
Para manter as contas exatas, é útil multiplicar por um fator comum e simplificar; fazendo isso (multiplicando por 66\cdot 2507=165462 e simplificando) obtém‑se a forma inteira para v_{3}:
v_{3}=\frac{1}{27577}\begin{pmatrix}17061\\[4pt]-6171\\[4pt]1089\end{pmatrix}.
Portanto
r_{33}=\|v_{3}\|=\frac{\sqrt{17061^{2}+(-6171)^{2}+1089^{2}}}{27577} =\frac{\sqrt{330344883}}{27577}.
E
q_{3}=\frac{v_{3}}{r_{33}}=\frac{1}{\sqrt{330344883}}\begin{pmatrix}17061\\[4pt]-6171\\[4pt]1089\end{pmatrix}.
Resumo (valores exatos úteis):
r_{11}=\sqrt{66},\quad r_{12}=\frac{1}{\sqrt{66}},\quad r_{13}=\frac{13}{\sqrt{66}},
r_{22}=\frac{\sqrt{165462}}{66},\quad r_{23}=\frac{2759}{\sqrt{165462}},\quad r_{33}=\frac{\sqrt{330344883}}{27577}.]

Passo 6

Calcule y=Q^{T}b. Como q_{1}=\dfrac{v_{1}}{r_{11}}, q_{2}=\dfrac{v_{2}}{r_{22}}, q_{3}=\dfrac{v_{3}}{r_{33}}, temos
y_{1}=q_{1}^{T}b=\frac{v_{1}^{T}b}{r_{11}},\qquad y_{2}=\frac{v_{2}^{T}b}{r_{22}},\qquad y_{3}=\frac{v_{3}^{T}b}{r_{33}}.
Calculei os produtos internos explicitamente (peguei os coeficientes de b da questão):
  • v_{1}^{T}b = [1,4,7]\cdot[14,32,-5]=14+128-35=107. Então
y_{1}=\frac{107}{\sqrt{66}}.
  • v_{2}^{T}b = \dfrac{1}{66}(131\cdot 14 + 326\cdot 32 + (-205)\cdot(-5))=\dfrac{13291}{66}. Como r_{22}=\dfrac{\sqrt{165462}}{66}, segue
y_{2}=\frac{13291}{\sqrt{165462}}.
  • v_{3}^{T}b = \dfrac{1}{27577}(17061\cdot 14 + (-6171)\cdot 32 + 1089\cdot(-5))=\dfrac{35937}{27577}. Como r_{33}=\dfrac{\sqrt{330344883}}{27577}, segue
y_{3}=\frac{35937}{\sqrt{330344883}}.
Portanto y=Q^{T}b tem as componentes acima.

Passo 7

Agora resolvemos R x = y por substituição regressiva:
\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\[4pt] 0 & r_{22} & r_{23}\\[4pt] 0&0& r_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]y_{3}\end{pmatrix}.
Equação do terceiro bloco:
r_{33} x_{3}=y_{3}
equivalente (usando definição de v_{3}) a
x_{3}=\frac{v_{3}^{T}b}{v_{3}^{T}v_{3}}.
Substituindo os valores inteiros que encontramos para v_{3} e seus produtos, obtemos (feito os cálculos na forma exata)
x_{3}=3.
(Se quiser ver a conta: v_{3}^{T}b=35937/27577 e v_{3}^{T}v_{3}=330344883/27577^{2}. Fazendo a divisão simplifica exatamente para 3.)
Agora segunda equação (linha 2):
r_{22} x_{2} + r_{23} x_{3}=y_{2}.
Substituindo x_{3}=3 e as expressões racionais para r_{22},r_{23},y_{2} temos
r_{22} x_{2} = \frac{13291}{\sqrt{165462}} - \frac{2759}{\sqrt{165462}}\cdot 3 = \frac{13291-8277}{\sqrt{165462}}=\frac{5014}{\sqrt{165462}}.
Logo
x_{2}=\frac{5014/\sqrt{165462}}{r_{22}}=\frac{5014/\sqrt{165462}}{\sqrt{165462}/66} =\frac{5014\cdot 66}{165462}=\frac{5014}{2507}=2.
Finalmente primeira equação (linha 1):
r_{11} x_{1} + r_{12} x_{2} + r_{13} x_{3} = y_{1}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{66} (para remover denominadores) e substituindo x_{2}=2 e x_{3}=3:
66 x_{1} + x_{2} + 13 x_{3} = 107.
Substituindo os valores:
66 x_{1} + 2 + 39 = 107 \quad\Rightarrow\quad 66 x_{1} = 66 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.]

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=2
x_{3}=3

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