Consider the test of
against
. Approximate the
-value for each of the following test statistics.
and
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime o
-value do teste de hipóteses
dado que o valor observado do estatístico qui‑quadrado é
e a amostra tem tamanho
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Observação do estatístico:
. - Tamanho da amostra:
. - Hipótese alternativa é do tipo “menor” (
), portanto é um teste à esquerda.
O objetivo: calcular (aproximar) o-value correspondente a esse resultado observado.
Passo 2
Qual estatístico usamos e qual sua distribuição?
Num teste sobre variância assumindo normalidade, o estatístico baseado na amostra é
Num teste sobre variância assumindo normalidade, o estatístico baseado na amostra é
onde:
-
é o tamanho da amostra, -
é a variância amostral, -
é a variância sob .
Esse estatístico segue, sob, a distribuição qui‑quadrado com graus de liberdade:
No enunciado já foi dado o valor observado desse estatístico como
, então vamos trabalhar com a distribuição
.
Passo 3
Como calcular o
-value para uma alternativa à esquerda?
Para alternativa (aqui
), valores pequenos do estatístico
apoiam
. Portanto o
-value é a probabilidade, sob
, de observar um valor igual ou mais extremo na direção da alternativa, isto é:
Para alternativa
Logo vamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF) da qui‑quadrado em
.
Passo 4
Definir os graus de liberdade e os parâmetros da distribuição qui‑quadrado.
Os graus de liberdade são
Os graus de liberdade são
Para uso da aproximação normal (explicada a seguir) precisamos também da média e variância da
:
- média:
, - variância:
, - desvio padrão:
.
Passo 5
Escolha do método de aproximação e por quê.
Para a distribuição qui‑quadrado não é extremamente pequena, então podemos usar a aproximação pelo normal:
Para
quando
não é muito pequeno. Essa aproximação transforma o problema de calcular uma CDF de qui‑quadrado numa CDF normal padrão, que é simples de avaliar sem tabela específica de qui‑quadrado. Como o enunciado pede aproximação, essa é uma escolha prática e rápida para prova.
Passo 6
Aplicar a aproximação normal: calcular o
-score.
Transformamos o valor observado para um
padronizado:
Transformamos o valor observado
Calculemos os números:
Portanto
Passo 7
Calcular a probabilidade acumulada pela normal padrão.
O -value (à esquerda) é aproximadamente
O
onde
é a CDF da normal padrão. Para
usamos a tabela da normal padrão ou valores conhecidos:
e
. Interpolando para
obtemos algo próximo de
.
Assim
Assim
Passo 8
Interpretação rápida (útil para prova).
Um -value de aproximadamente
é muito grande: não há evidência para rejeitar
em favor de
em níveis usuais (por exemplo
,
,
). Ou seja, o resultado observado não favorece a hipótese de variância menor que
.
Um