Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=5 against H_{1}: \sigma^{2}<5. Approximate the P-value for each of the following test statistics.
x_{0}^{2}=25.2 and n=20

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime o P-value do teste de hipóteses
H_{0}: \sigma^{2}=5 \quad\text{vs.}\quad H_{1}: \sigma^{2}<5,
dado que o valor observado do estatístico qui‑quadrado é x_{0}^{2}=25,2 e a amostra tem tamanho n=20.
Informações relevantes fornecidas:
  • Observação do estatístico: x_{0}^{2}=25,2.
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Hipótese alternativa é do tipo “menor” ( \sigma^{2}<5), portanto é um teste à esquerda.
    O objetivo: calcular (aproximar) o P-value correspondente a esse resultado observado.

Passo 2

Qual estatístico usamos e qual sua distribuição?
Num teste sobre variância assumindo normalidade, o estatístico baseado na amostra é
\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • n é o tamanho da amostra,
  • S^{2} é a variância amostral,
  • \sigma_{0}^{2} é a variância sob H_{0}.
    Esse estatístico segue, sob H_{0}, a distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade:
\chi^{2}\sim \chi^{2}_{n-1}.
No enunciado já foi dado o valor observado desse estatístico como x_{0}^{2}=25,2, então vamos trabalhar com a distribuição \chi^{2}_{n-1}.

Passo 3

Como calcular o P-value para uma alternativa à esquerda?
Para alternativa \sigma^{2}<\sigma_{0}^{2} (aqui \sigma_{0}^{2}=5), valores pequenos do estatístico \chi^{2} apoiam H_{1}. Portanto o P-value é a probabilidade, sob H_{0}, de observar um valor igual ou mais extremo na direção da alternativa, isto é:
P\text{-value} = P\bigl(\chi^{2}_{n-1}\le x_{0}^{2}\bigr).
Logo vamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF) da qui‑quadrado em x_{0}^{2}.

Passo 4

Definir os graus de liberdade e os parâmetros da distribuição qui‑quadrado.
Os graus de liberdade são
\nu = n-1 = 20-1 = 19.
Para uso da aproximação normal (explicada a seguir) precisamos também da média e variância da \chi^{2}_{\nu}:
  • média: \mathbb{E}(\chi^{2}_{\nu})=\nu=19,
  • variância: \operatorname{Var}(\chi^{2}_{\nu})=2\nu=38,
  • desvio padrão: \sigma_{\chi}=\sqrt{2\nu}=\sqrt{38}\approx 6,164.

Passo 5

Escolha do método de aproximação e por quê.
Para \nu=19 a distribuição qui‑quadrado não é extremamente pequena, então podemos usar a aproximação pelo normal:
\chi^{2}_{\nu}\approx N\bigl(\nu,\,2\nu\bigr)
quando \nu não é muito pequeno. Essa aproximação transforma o problema de calcular uma CDF de qui‑quadrado numa CDF normal padrão, que é simples de avaliar sem tabela específica de qui‑quadrado. Como o enunciado pede aproximação, essa é uma escolha prática e rápida para prova.

Passo 6

Aplicar a aproximação normal: calcular o z-score.
Transformamos o valor observado x_{0}^{2}=25,2 para um z padronizado:
z=\frac{x_{0}^{2}-\mathbb{E}(\chi^{2})}{\sigma_{\chi}} =\frac{25,2-19}{\sqrt{38}}.
Calculemos os números:
25,2-19 = 6,2,
\sqrt{38}\approx 6,164.
Portanto
z\approx\frac{6,2}{6,164}\approx 1,006.

Passo 7

Calcular a probabilidade acumulada pela normal padrão.
O P-value (à esquerda) é aproximadamente
P\text{-value}\approx \Phi(z),
onde \Phi é a CDF da normal padrão. Para z\approx 1,006 usamos a tabela da normal padrão ou valores conhecidos:
\Phi(1,00)\approx 0,8413 e \Phi(1,01)\approx 0,8438. Interpolando para 1,006 obtemos algo próximo de 0,842.
Assim
P\text{-value}\approx 0,842.

Passo 8

Interpretação rápida (útil para prova).
Um P-value de aproximadamente 0,842 é muito grande: não há evidência para rejeitar H_{0} em favor de \sigma^{2}<5 em níveis usuais (por exemplo 0,10, 0,05, 0,01). Ou seja, o resultado observado não favorece a hipótese de variância menor que 5.

Resposta

P\text{-value}\approx 0,842

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