Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=5 against H_{1}: \sigma^{2}<5. Approximate the P-value for each of the following test statistics.
x_{0}^{2}=4.2 and n=15

Passo 1

O enunciado pede aproximar o P-value para o teste
H_{0}:\sigma^{2}=5\quad\text{versus}\quad H_{1}:\sigma^{2}<5,
dado que o valor do estatístico observado é x_{0}^{2}=4{,}2 e o tamanho da amostra é n=15. Informações relevantes que temos:
n=15,\quad \text{graus de liberdade } \nu=n-1=14,\quad x_{0}^{2}=4{,}2.
Não há outras quantidades (como s^{2}) porque o valor fornecido x_{0}^{2}=4{,}2 já é o valor observado do estatístico qui-quadrado.

Passo 2

Explicando o que é o P-value neste teste e qual estatística usamos. Quando testamos variância com hipótese nula \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}, o estatístico clássico é
X=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
e sob H_{0} tem distribuição de qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade, isto é X\sim\chi^{2}_{\nu}.
No nosso caso o enunciado já nos deu o valor observado desse X, que chamamos de x_{0}^{2}. Como a hipótese alternativa é \sigma^{2}<5 (menor), queremos a cauda esquerda da distribuição: o P-value é a probabilidade, sob H_{0}, de obter um valor do qui-quadrado menor ou igual ao observado. Ou seja,
P\text{-value}=P\bigl(\chi^{2}_{14}\le x_{0}^{2}\bigr)=P\bigl(\chi^{2}_{14}\le 4{,}2\bigr).

Passo 3

Como calcular numericamente P(\chi^{2}_{14}\le 4{,}2). Opções:
  • usar software (R, Python) ou tabela de qui-quadrado (mas tabelas geralmente dão quantis e com pouca resolução na cauda esquerda);
  • ou usar uma aproximação pelo Teorema de Wilson–Hilferty (uma transformação que aproxima a distribuição qui-quadrado por uma normal), adequada para obter um valor aproximado quando não há software disponível. Vou usar a aproximação de Wilson–Hilferty porque é prática para fazer à mão.

Passo 4

Apresentando a transformação de Wilson–Hilferty e aplicando passo a passo. Para X\sim\chi^{2}_{\nu} e observação x, define-se
Z=\frac{\bigl(\tfrac{x}{\nu}\bigr)^{1/3}-\bigl(1-\tfrac{2}{9\nu}\bigr)}{\sqrt{\tfrac{2}{9\nu}}}
e Z é aproximadamente \mathcal{N}(0,1). Aplicando com \nu=14 e x=4{,}2:
  1. Calcular \tfrac{x}{\nu}:
\frac{x}{\nu}=\frac{4{,}2}{14}=0{,}3.
  1. Fazer a raiz cúbica:
\bigl(\tfrac{x}{\nu}\bigr)^{1/3}=(0{,}3)^{1/3}\approx 0{,}6699.
(Verificação rápida: 0{,}67^{3}\approx 0{,}3008, então 0{,}6699 é consistente.)
  1. Calcular o termo de correção (a “média” aproximada da transformação):
1-\frac{2}{9\nu}=1-\frac{2}{9\cdot 14}=1-\frac{2}{126}=1-0{,}015873\approx 0{,}984127.
  1. Calcular o desvio padrão da transformação:
\sqrt{\frac{2}{9\nu}}=\sqrt{\frac{2}{9\cdot 14}}=\sqrt{\frac{2}{126}}=\sqrt{0{,}015873}\approx 0{,}1260.
  1. Calcular Z:
Z=\frac{0{,}6699-0{,}984127}{0{,}1260}=\frac{-0{,}314227}{0{,}1260}\approx -2{,}495.

Passo 5

Converter Z em P-value. Como queremos a cauda esquerda,
P\text{-value}\approx \Phi(Z)=\Phi(-2{,}495),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Consultando a tabela da normal ou conhecendo valores típicos: \Phi(-2{,}50)\approx 0{,}0062. Interpolando para Z=-2{,}495 obtemos aproximadamente
P\text{-value}\approx 0{,}0063.
Isso significa que, sob H_{0}, a probabilidade de obter um valor tão pequeno quanto 4{,}2 é cerca de 0{,}63\%. É um valor muito pequeno, indicando evidência contra H_{0} a favor de variância menor.

Passo 6

Breve interpretação e alternativa: se você tivesse acesso a software, escreveria por exemplo em R:
\texttt{pchisq(4.2, df=14)}
e obteria um valor muito próximo de 0{,}006, confirmando a aproximação. Portanto a resposta numérica está coerente.

Resposta

0{,}0063

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