Consider the test of
against
. Approximate the
-value for each of the following test statistics.
and
Passo 1
O enunciado pede aproximar o
-value para o teste
dado que o valor do estatístico observado é
e o tamanho da amostra é
. Informações relevantes que temos:
Não há outras quantidades (como
) porque o valor fornecido
já é o valor observado do estatístico qui-quadrado.
Passo 2
Explicando o que é o
-value neste teste e qual estatística usamos. Quando testamos variância com hipótese nula
, o estatístico clássico é
e sob
tem distribuição de qui-quadrado com
graus de liberdade, isto é
.
No nosso caso o enunciado já nos deu o valor observado desse , que chamamos de
. Como a hipótese alternativa é
(menor), queremos a cauda esquerda da distribuição: o
-value é a probabilidade, sob
, de obter um valor do qui-quadrado menor ou igual ao observado. Ou seja,
No nosso caso o enunciado já nos deu o valor observado desse
Passo 3
Como calcular numericamente
. Opções:
- usar software (R, Python) ou tabela de qui-quadrado (mas tabelas geralmente dão quantis e com pouca resolução na cauda esquerda);
- ou usar uma aproximação pelo Teorema de Wilson–Hilferty (uma transformação que aproxima a distribuição qui-quadrado por uma normal), adequada para obter um valor aproximado quando não há software disponível. Vou usar a aproximação de Wilson–Hilferty porque é prática para fazer à mão.
Passo 4
Apresentando a transformação de Wilson–Hilferty e aplicando passo a passo. Para
e observação
, define-se
e
é aproximadamente
. Aplicando com
e
:
- Calcular
:
- Fazer a raiz cúbica:
(Verificação rápida:
, então
é consistente.)
- Calcular o termo de correção (a “média” aproximada da transformação):
- Calcular o desvio padrão da transformação:
- Calcular
:
Passo 5
Converter
em
-value. Como queremos a cauda esquerda,
onde
é a função de distribuição da normal padrão. Consultando a tabela da normal ou conhecendo valores típicos:
. Interpolando para
obtemos aproximadamente
Isso significa que, sob
, a probabilidade de obter um valor tão pequeno quanto
é cerca de
. É um valor muito pequeno, indicando evidência contra
a favor de variância menor.
Passo 6
Breve interpretação e alternativa: se você tivesse acesso a software, escreveria por exemplo em R:
e obteria um valor muito próximo de
, confirmando a aproximação. Portanto a resposta numérica está coerente.