A textile fiber manufacturer is investigating a new drapery yarn, which the company claims has a mean thread elongation of 12 kilograms with a standard deviation of 0.5 kilograms. The company wishes to test the hypothesis
against
, using a random sample of four specimens.
(a) What is the type I error probability if the critical region is defined as
kilograms?
(b) Find
for the case in which the true mean elongation is 11.25 kilograms.
(c) Find
for the case in which the true mean is 11.5 kilograms.
(a) What is the type I error probability if the critical region is defined as
(b) Find
(c) Find
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
Temos uma amostra aleatória de espécimes do fio. A fabricante afirma que o desvio-padrão populacional é
kg. As hipóteses são
Temos uma amostra aleatória de
O critério de rejeição dado é
kg.\n
Perguntas pedidas pelo problema:\n
(a) Calcular a probabilidade de erro tipo I, isto é , usando o critério
.\n
(b) Calcular (erro tipo II) quando a verdadeira média é
, ou seja
.\n
(c) Calcular quando a verdadeira média é
, ou seja
.\n
Perguntas pedidas pelo problema:\n
(a) Calcular a probabilidade de erro tipo I, isto é
(b) Calcular
(c) Calcular
Passo 2
Modelo de amostragem e conceito chave (por que podemos usar normal e o que é o erro tipo I/II):\n
Quando a variância populacional é conhecida e as observações são independentes, a média amostral
tem distribuição normal com média
(a média verdadeira) e desvio-padrão igual ao erro padrão
. Em símbolos:
Quando a variância populacional
portanto
Aqui
e
, logo
Erro tipo I (
) é a probabilidade de rejeitar
quando
é verdadeira. Com o critério dado, isso é
.\n
Erro tipo II ( ) para um valor específico
é a probabilidade de não rejeitar
quando a verdadeira média é
. Como a região de rejeição é
, não rejeitar é
, então
Erro tipo II (
Passo 3
Como transformar as probabilidades em probabilidades da normal padrão (z):\n
Para calcular probabilidades de usamos a mudança de variável para a normal padrão
:
Para calcular probabilidades de
Assim qualquer probabilidade do tipo
vira
, e qualquer
vira
. Usaremos as tabelas (ou função
) da normal padrão, onde
.
Passo 4
Cálculo do erro tipo I (
) quando
:\n
Queremos
Queremos
Calcule o z-score:
Portanto
Usando valores conhecidos da normal padrão,
, então
. Arredondando razoavelmente,
Passo 5
Explicando intuitivamente o resultado do passo anterior (motivação rápida):\n
O z-score significa que o ponto crítico
está a 2 desvios-padrão abaixo da média assumida
. Para a normal, a probabilidade de cair tão abaixo é pequena (cerca de
). Isso é a probabilidade de rejeitarmos
mesmo quando
for verdade.
O z-score
Passo 6
Cálculo de
quando a verdadeira média é
:\n
Queremos
Queremos
Transformando para
:
Calcule o z-score:
Logo
Portanto
Passo 7
Cálculo de
quando a verdadeira média é
:\n
Queremos
Queremos
Transformando:
Logo
Interpretação curta: se a verdadeira média for exatamente o ponto crítico
, então metade das amostras cairão abaixo e serão rejeitadas, metade não — logo
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)