A textile fiber manufacturer is investigating a new drapery yarn, which the company claims has a mean thread elongation of 12 kilograms with a standard deviation of 0.5 kilograms. The company wishes to test the hypothesis H_{0}: \mu=12 against H_{1}: \mu<12, using a random sample of four specimens.
(a) What is the type I error probability if the critical region is defined as \bar{x}<11.5 kilograms?
(b) Find \beta for the case in which the true mean elongation is 11.25 kilograms.
(c) Find \beta for the case in which the true mean is 11.5 kilograms.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
Temos uma amostra aleatória de n=4 espécimes do fio. A fabricante afirma que o desvio-padrão populacional é \sigma=0,5 kg. As hipóteses são
H_{0}:\mu=12
H_{1}:\mu<12.
O critério de rejeição dado é \bar{x}<11,5 kg.\n
Perguntas pedidas pelo problema:\n
(a) Calcular a probabilidade de erro tipo I, isto é \alpha=P(\text{rejeitar }H_{0}\mid \mu=12), usando o critério \bar{x}<11,5.\n
(b) Calcular \beta (erro tipo II) quando a verdadeira média é \mu=11,25, ou seja \beta=P(\text{não rejeitar }H_{0}\mid \mu=11,25)ã.\n
(c) Calcular \beta quando a verdadeira média é \mu=11,5, ou seja \beta=P(\text{não rejeitar }H_{0}\mid \mu=11,5)ã.\n

Passo 2

Modelo de amostragem e conceito chave (por que podemos usar normal e o que é o erro tipo I/II):\n
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e as observações são independentes, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu (a média verdadeira) e desvio-padrão igual ao erro padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Em símbolos:
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right),
portanto
\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui \sigma=0,5 e n=4, logo
\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{0,5}{\sqrt{4}}=\dfrac{0,5}{2}=0,25\\ \text{kg}.
Erro tipo I ( \alpha) é a probabilidade de rejeitar H_{0} quando H_{0} é verdadeira. Com o critério dado, isso é P(\bar{X}<11,5\mid \mu=12).\n
Erro tipo II ( \beta) para um valor específico \mu=\mu_{1} é a probabilidade de não rejeitar H_{0} quando a verdadeira média é \mu_{1}. Como a região de rejeição é \bar{X}<11,5, não rejeitar é \bar{X}\ge 11,5, então
\beta(\mu_{1})=P(\bar{X}\ge 11,5\mid \mu=\mu_{1}).

Passo 3

Como transformar as probabilidades em probabilidades da normal padrão (z):\n
Para calcular probabilidades de \bar{X} usamos a mudança de variável para a normal padrão Z:
Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{0,25}.
Assim qualquer probabilidade do tipo P(\bar{X}<a\mid\mu) vira P\!\left(Z<\dfrac{a-\mu}{0,25}\right), e qualquer P(\bar{X}\ge a\mid\mu) vira 1-P\!\left(Z<\dfrac{a-\mu}{0,25}\right). Usaremos as tabelas (ou função \Phi) da normal padrão, onde \Phi(t)=P(Z\le t).

Passo 4

Cálculo do erro tipo I ( \alpha) quando \mu=12:\n
Queremos
\alpha=P(\bar{X}<11,5\mid \mu=12)=P\!\left(Z<\dfrac{11,5-12}{0,25}\right).
Calcule o z-score:
\dfrac{11,5-12}{0,25}=\dfrac{-0,5}{0,25}=-2.
Portanto
\alpha=\Phi(-2).
Usando valores conhecidos da normal padrão, \Phi(2)=0,97725, então \Phi(-2)=1-\Phi(2)=1-0,97725=0,02275. Arredondando razoavelmente,
\alpha\approx 0,0228.

Passo 5

Explicando intuitivamente o resultado do passo anterior (motivação rápida):\n
O z-score -2 significa que o ponto crítico 11,5 está a 2 desvios-padrão abaixo da média assumida 12. Para a normal, a probabilidade de cair tão abaixo é pequena (cerca de 2{,}28\%). Isso é a probabilidade de rejeitarmos H_{0} mesmo quando H_{0} for verdade.

Passo 6

Cálculo de \beta quando a verdadeira média é \mu=11,25:\n
Queremos
\beta(\mu=11,25)=P(\bar{X}\ge 11,5\mid \mu=11,25)=1-P(\bar{X}<11,5\mid \mu=11,25).
Transformando para Z:
P(\bar{X}<11,5\mid \mu=11,25)=\Phi\!\left(\dfrac{11,5-11,25}{0,25}\right).
Calcule o z-score:
\dfrac{11,5-11,25}{0,25}=\dfrac{0,25}{0,25}=1.
Logo
P(\bar{X}<11,5\mid \mu=11,25)=\Phi(1)\approx 0,84134.
Portanto
\beta(\mu=11,25)=1-0,84134=0,15866\approx 0,1587.

Passo 7

Cálculo de \beta quando a verdadeira média é \mu=11,5:\n
Queremos
\beta(\mu=11,5)=P(\bar{X}\ge 11,5\mid \mu=11,5)=1-P(\bar{X}<11,5\mid \mu=11,5).
Transformando:
P(\bar{X}<11,5\mid \mu=11,5)=\Phi\!\left(\dfrac{11,5-11,5}{0,25}\right)=\Phi(0)=0,5.
Logo
\beta(\mu=11,5)=1-0,5=0,5.
Interpretação curta: se a verdadeira média for exatamente o ponto crítico 11,5, então metade das amostras cairão abaixo e serão rejeitadas, metade não — logo \beta=0,5.

Resposta

(a) \alpha\approx 0,0228\n
(b) \beta(\mu=11,25)\approx 0,1587\n
(c) \beta(\mu=11,5)=0,5

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