Consider the test of
against
. Approximate the
-value for each of the following test statistics.
and
Passo 1
O enunciado dá:
o estatístico observado é
e o tamanho da amostra é
.
Pergunta: aproximar o -value correspondente a esse valor observado.
Pergunta: aproximar o
Passo 2
Qual é o estatístico de teste e a sua distribuição sob
: se
é a variância amostral, então o estatístico
segue, sob
, a distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade. Aqui
é a variância hipotética e
. O enunciado fornece o valor observado desse estatístico como
, ou seja,
.
Passo 3
Como
é one‑sided para baixo (
), o
-value é a probabilidade, sob
, de obter um valor de
menor ou igual ao observado:
Explicando:
é a função de distribuição acumulada da qui‑quadrado com 11 graus de liberdade. Calcular essa CDF exatamente exige tabela ou software; vamos usar uma aproximação conveniente para calcular à mão.
Passo 4
Apresento a aproximação de Wilson–Hilferty (transformação cúbica), que diz: se
então
tem distribuição aproximadamente padrão normal
. Aqui:
-
é o valor da qui‑quadrado (aqui ); -
é os graus de liberdade (aqui ); -
é a aproximação normal usada para obter a CDF.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
e
:
Calcule
:
Calcule a raiz cúbica:
Calcule o termo de correção:
Calcule o denominador:
Agora o numerador e o
:
Passo 6
Converter
em probabilidade usando a distribuição normal padrão:
onde
é a CDF da normal padrão. Consultando uma tabela normal ou usando aproximação,
e
, então para
obtemos
Passo 7
Interpretação rápida e motivação: esse
-value é grande (por volta de
), o que significa que, dado
, observar
não é nada surpreendente no sentido da alternativa “menor”. Logo não há evidência para rejeitar
em favor de
.