A polymer is manufactured in a batch chemical process. Viscosity measurements are normally made on each batch, and long experience with the process has indicated that the variability in the process is fairly stable with
. Fifteen batch viscosity measurements are given as follows:
A process change that involves switching the type of catalyst used in the process is made. Following the process change, eight batch viscosity measurements are taken:
Assume that process variability is unaffected by the catalyst change. If the difference in mean batch viscosity is 10 or less, the manufacturer would like to detect it with a high probability.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using
. What are your conclusions? Find the
-value.
(b) Find a
confidence interval on the difference in mean batch viscosity resulting from the process change.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using
(b) Find a
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de viscosidade (antes e depois da mudança de catalisador) e pede duas coisas: (a) formular e testar uma hipótese ao nível
e fornecer o
-valor; (b) obter um intervalo de confiança de
para a diferença das médias causadas pela mudança.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Amostra “antes” (tamanho
) com observações
- Amostra “depois” (tamanho
) com observações
- Variabilidade conhecida e estável:
. (Isto é a hipótese de desvio-padrão populacional conhecido.) - Nível de significância para o teste:
.
Perguntas explícitas do enunciado:
- Formular e realizar um teste apropriado (comclusão e
-valor). - Calcular um intervalo de confiança de
para a diferença das médias.
Passo 2
Escolha do método (por que usar esse teste). Como o problema informa que a variabilidade populacional é conhecida (
) e assume normalidade das medidas (ou amostras razoavelmente grandes), o teste apropriado para comparar duas médias independentes é o teste
para a diferença de médias com variância conhecida. Esse teste usa a distribuição normal padrão para a estatística de teste porque o desvio-padrão populacional é conhecido. Vamos definir:
-
= média verdadeira antes da mudança, -
= média verdadeira depois da mudança.
Hipóteses usuais (teste bilateral, pois queremos ver se houve mudança):
(Isto testa se houve mudança em qualquer direção.)
Passo 3
Calcular as médias amostrais passo a passo (faça isso na prova: some os valores e divida pelo
).
Somatório da amostra antes:
Logo a média amostral antes é
Somatório da amostra depois:
Logo a média amostral depois é
Diferença amostral:
Passo 4
Calcular o erro padrão da diferença de médias e a estatística
.
Fórmula do erro padrão (quando a variância populacional
é conhecida e as duas amostras são independentes):
Aqui
,
,
. Então
A estatística de teste
(para
) é
Passo 5
Calcular o
-valor (teste bilateral). Para um teste bilateral:
Aqui
. Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
Logo
Comparação com
:
-valor
, então não rejeitamos
. Conclusão: com os dados disponíveis não há evidência estatística, ao nível
, de mudança na média de viscosidade após a troca do catalisador.
Passo 6
Interpretação prática rápida (para te dar confiança): a diferença amostral é
(ou seja, a média depois é cerca de
unidades maior que a antes), mas a variabilidade e tamanhos amostrais fazem essa diferença não ser estatisticamente significativa. O
-valor
é bem maior que
, então os dados são compatíveis com nenhuma mudança de média.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança de
para
.
Fórmula (quando
é conhecida):
Para
de confiança,
e
.
Margem de erro:
Portanto o intervalo é
ou seja
Arredondando a duas casas decimais,
Observação útil: esse intervalo contém zero, o que está de acordo com o resultado do teste (não rejeição de
). Note também que diferenças até cerca de
não são excluídas pelos dados com
de confiança; em particular uma diferença de magnitude
está dentro do intervalo, então não podemos afirmar que diferenças desse tamanho foram detectadas com confiança pelos dados disponíveis.
Resposta
(a) Não rejeitamos
ao nível
.
-valor
.
(b) Intervalo de confiança de para
:
.
(b) Intervalo de confiança de