A polymer is manufactured in a batch chemical process. Viscosity measurements are normally made on each batch, and long experience with the process has indicated that the variability in the process is fairly stable with \sigma=20. Fifteen batch viscosity measurements are given as follows:
\begin{aligned} & 724,718,776,760,745,759,795,756,742,740,761, \\\ & 749,739,747,742 \end{aligned}
A process change that involves switching the type of catalyst used in the process is made. Following the process change, eight batch viscosity measurements are taken:
735,775,729,755,783,760,738,780
Assume that process variability is unaffected by the catalyst change. If the difference in mean batch viscosity is 10 or less, the manufacturer would like to detect it with a high probability.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using \alpha=0.10. What are your conclusions? Find the P-value.
(b) Find a 90 \% confidence interval on the difference in mean batch viscosity resulting from the process change.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de viscosidade (antes e depois da mudança de catalisador) e pede duas coisas: (a) formular e testar uma hipótese ao nível \alpha=0{,}10 e fornecer o P-valor; (b) obter um intervalo de confiança de 90\% para a diferença das médias causadas pela mudança.
Informações relevantes fornecidas:
  • Amostra “antes” (tamanho n_1=15) com observações
724,718,776,760,745,759,795,756,742,740,761,749,739,747,742.
  • Amostra “depois” (tamanho n_2=8) com observações
735,775,729,755,783,760,738,780.
  • Variabilidade conhecida e estável: \sigma = 20. (Isto é a hipótese de desvio-padrão populacional conhecido.)
  • Nível de significância para o teste: \alpha=0{,}10.
    Perguntas explícitas do enunciado:
  1. Formular e realizar um teste apropriado (comclusão e P-valor).
  2. Calcular um intervalo de confiança de 90\% para a diferença das médias.

Passo 2

Escolha do método (por que usar esse teste). Como o problema informa que a variabilidade populacional é conhecida ( \sigma=20) e assume normalidade das medidas (ou amostras razoavelmente grandes), o teste apropriado para comparar duas médias independentes é o teste z para a diferença de médias com variância conhecida. Esse teste usa a distribuição normal padrão para a estatística de teste porque o desvio-padrão populacional é conhecido. Vamos definir:
  • \mu_1 = média verdadeira antes da mudança,
  • \mu_2 = média verdadeira depois da mudança.
    Hipóteses usuais (teste bilateral, pois queremos ver se houve mudança):
H_0:\\ \mu_1-\mu_2 = 0
H_a:\\ \mu_1-\mu_2 \neq 0.
(Isto testa se houve mudança em qualquer direção.)

Passo 3

Calcular as médias amostrais passo a passo (faça isso na prova: some os valores e divida pelo n).
Somatório da amostra antes:
\sum x_{1i} = 724+718+776+760+745+759+795+756+742+740+761+749+739+747+742 = 11253.
Logo a média amostral antes é
\bar{x}_1 = \frac{11253}{15} = 750{,}2.
Somatório da amostra depois:
\sum x_{2i} = 735+775+729+755+783+760+738+780 = 6055.
Logo a média amostral depois é
\bar{x}_2 = \frac{6055}{8} = 756{,}875.
Diferença amostral:
\bar{x}_1-\bar{x}_2 = 750{,}2 - 756{,}875 = -6{,}675.

Passo 4

Calcular o erro padrão da diferença de médias e a estatística z.
Fórmula do erro padrão (quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e as duas amostras são independentes):
\text{SE}(\bar{X}_1-\bar{X}_2) = \sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}.
Aqui \sigma=20, n_1=15, n_2=8. Então
\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2} = \frac{1}{15}+\frac{1}{8} = 0{,}0666667 + 0{,}125 = 0{,}1916667.
\sqrt{0{,}1916667} \approx 0{,}43768.
\text{SE} \approx 20 \times 0{,}43768 = 8{,}7536.
A estatística de teste z (para H_0:\\ \mu_1-\mu_2=0) é
z = \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-0}{\text{SE}} = \frac{-6{,}675}{8{,}7536} \approx -0{,}763.

Passo 5

Calcular o P-valor (teste bilateral). Para um teste bilateral:
P\text{-valor} = 2\Pr(Z \le z_{\text{obs}}) = 2\Phi(z_{\text{obs}})\\ \text{se } z_{\text{obs}}<0.
Aqui z_{\text{obs}}\approx -0{,}763. Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
\Phi(-0{,}763) \approx 0{,}2227.
Logo
P\text{-valor} = 2\times 0{,}2227 = 0{,}4454 \approx 0{,}445.
Comparação com \alpha=0{,}10: P-valor 0{,}445>0{,}10, então não rejeitamos H_0. Conclusão: com os dados disponíveis não há evidência estatística, ao nível 10\%, de mudança na média de viscosidade após a troca do catalisador.

Passo 6

Interpretação prática rápida (para te dar confiança): a diferença amostral é -6{,}675 (ou seja, a média depois é cerca de 6{,}675 unidades maior que a antes), mas a variabilidade e tamanhos amostrais fazem essa diferença não ser estatisticamente significativa. O P-valor 0{,}445 é bem maior que 0{,}10, então os dados são compatíveis com nenhuma mudança de média.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança de 90\% para \mu_1-\mu_2.
Fórmula (quando \sigma é conhecida):
(\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm z_{1-\alpha/2}\,\text{SE}.
Para 90\% de confiança, 1-\alpha/2 = 0{,}95 e z_{0{,}95}=1{,}645.
Margem de erro:
\text{ME} = 1{,}645 \times 8{,}7536 \approx 14{,}4007.
Portanto o intervalo é
-6{,}675 \pm 14{,}4007,
ou seja
\text{IC}_{90\%} = \bigl(-21{,}0757,\\\ 7{,}7257\bigr).
Arredondando a duas casas decimais,
\text{IC}_{90\%} \approx \bigl(-21{,}08,\\\ 7{,}73\bigr).
Observação útil: esse intervalo contém zero, o que está de acordo com o resultado do teste (não rejeição de H_0). Note também que diferenças até cerca de |21| não são excluídas pelos dados com 90\% de confiança; em particular uma diferença de magnitude 10 está dentro do intervalo, então não podemos afirmar que diferenças desse tamanho foram detectadas com confiança pelos dados disponíveis.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}10. P-valor \approx 0{,}445.
(b) Intervalo de confiança de 90\% para \mu_1-\mu_2: (-21{,}08,\\\ 7{,}73).

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