Consider the test of
against
. What are the critical values for the test statistic
for the following significance levels and sample sizes?
and
Passo 1
O enunciado pede o(s) valor(es) crítico(s) para o teste de hipóteses
com nível de significância
e tamanho da amostra
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Nível de significância:
. - Tamanho da amostra:
. - Hipótese alternativa é à esquerda (
), ou seja, rejeitamos quando a estatística do teste fica pequena.
Passo 2
Definimos a estatística de teste para variância (quando os dados são normais desconhecidos):
onde:
-
é o tamanho da amostra, -
é a variância amostral, -
é a variância sob (aqui ), -
segue a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade sob .
Explicação didática: essa estatística compara a variabilidade observada (
) com a variabilidade esperada sob
(
). Para
esperamos
menor; portanto valores pequenos de
favorecem
.
Passo 3
Determinamos os graus de liberdade:
Para um teste à esquerda com nível
, a região crítica é
onde
é o quantil tal que
Ou seja,
é o percentil de ordem
da distribuição
com
graus de liberdade. Neste problema queremos
tal que
Passo 4
Como normalmente usamos tabelas que dão quantis em termos de cauda superior, cuidado com convenções: aqui estamos buscando o quantil da cauda inferior (
). Em tabelas que fornecem
tal que
, o valor requerido é
nessa notação. Para evitar confusão, vou indicar diretamente o valor numérico do percentil inferior de 0,10 para
.
Passo 5
Encontrar
exatamente exige tabela de qui-quadrado ou calculadora estatística. Se não houver tabela, podemos aproximar com a transformação de Wilson–Hilferty. Vou usar essa aproximação para mostrar o cálculo (passo a passo), depois arredondar ao valor prático:
A transformação de Wilson–Hilferty dá, para o quantil de probabilidade
(com
o quantil normal padrão correspondente):
onde
satisfaz
. Aqui
e
.
Calculemos com
:
Portanto o quantil inferior de ordem
da
é aproximadamente
. Conferindo com tabelas/softwares (quando disponíveis) o valor exato costuma ser próximo de
-
. Logo a regra de decisão do teste é:
Rejeitar
se