Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=5 against H_{1}: \sigma^{2}<5. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.10 and n=15

Passo 1

O enunciado pede o(s) valor(es) crítico(s) para o teste de hipóteses
H_{0}: \sigma^{2}=5 \quad\text{vs.}\quad H_{1}: \sigma^{2}<5
com nível de significância \alpha=0,10 e tamanho da amostra n=15.
Informações relevantes fornecidas:
  • Nível de significância: \alpha=0,10.
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Hipótese alternativa é à esquerda ( \sigma^{2}<5), ou seja, rejeitamos H_{0} quando a estatística do teste fica pequena.

Passo 2

Definimos a estatística de teste para variância (quando os dados são normais desconhecidos):
\chi_{0}^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • n é o tamanho da amostra,
  • S^{2} é a variância amostral,
  • \sigma_{0}^{2} é a variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=5),
  • \chi_{0}^{2} segue a distribuição qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade sob H_{0}.
Explicação didática: essa estatística compara a variabilidade observada ( S^{2}) com a variabilidade esperada sob H_{0} ( \sigma_{0}^{2}). Para H_{1}:\sigma^{2}<\sigma_{0}^{2} esperamos S^{2} menor; portanto valores pequenos de \chi_{0}^{2} favorecem H_{1}.

Passo 3

Determinamos os graus de liberdade:
\nu=n-1=15-1=14.
Para um teste à esquerda com nível \alpha, a região crítica é
\{\chi_{0}^{2}\le c\},
onde c é o quantil tal que
P\big(\chi^{2}_{\nu}\le c\big)=\alpha.
Ou seja, c é o percentil de ordem \alpha da distribuição \chi^{2} com \nu graus de liberdade. Neste problema queremos c tal que
P\big(\chi^{2}_{14}\le c\big)=0,10.

Passo 4

Como normalmente usamos tabelas que dão quantis em termos de cauda superior, cuidado com convenções: aqui estamos buscando o quantil da cauda inferior ( \alpha=0,10). Em tabelas que fornecem \chi^{2}_{\gamma,\nu} tal que P(\chi^{2}_{\nu}>\chi^{2}_{\gamma,\nu})=\gamma, o valor requerido é \chi^{2}_{1-\alpha,\nu} nessa notação. Para evitar confusão, vou indicar diretamente o valor numérico do percentil inferior de 0,10 para \nu=14.

Passo 5

Encontrar c exatamente exige tabela de qui-quadrado ou calculadora estatística. Se não houver tabela, podemos aproximar com a transformação de Wilson–Hilferty. Vou usar essa aproximação para mostrar o cálculo (passo a passo), depois arredondar ao valor prático:
A transformação de Wilson–Hilferty dá, para o quantil de probabilidade p (com z o quantil normal padrão correspondente):
c \approx \nu\Big(1-\frac{2}{9\nu}+z\sqrt{\frac{2}{9\nu}}\Big)^{3},
onde z satisfaz P(Z\le z)=p. Aqui p=\alpha=0,10 e z\approx -1,2816.
Calculemos com \nu=14:
\frac{2}{9\nu}=\frac{2}{9\cdot14}=\frac{2}{126}\approx0,015873,
\sqrt{\frac{2}{9\nu}}=\sqrt{0,015873}\approx0,1260,
1-\frac{2}{9\nu}+z\sqrt{\frac{2}{9\nu}}\approx 1-0,015873+(-1,2816)\cdot0,1260\approx 0,984127-0,1614\approx0,8227,
(0,8227)^{3}\approx 0,557,
c\approx 14\times0,557\approx 7,80.
Portanto o quantil inferior de ordem 0,10 da \chi^{2}_{14} é aproximadamente 7,80. Conferindo com tabelas/softwares (quando disponíveis) o valor exato costuma ser próximo de 7,79- 7,80. Logo a regra de decisão do teste é:
Rejeitar H_{0} se
\chi_{0}^{2}\le 7,80.

Resposta

\chi_{0}^{2}\le 7,80 (valor crítico \chi^{2}_{0,10,14}\approx 7,80)

Exercícios relacionados