Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=5 against H_{1}: \sigma^{2}<5. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.05 and n=12

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o(s) valor(es) crítico(s) para o teste
H_{0}: \sigma^{2}=5 \quad\text{vs}\quad H_{1}: \sigma^{2}<5
com nível de significância \alpha=0,05 e tamanho da amostra n=12.
Informações dadas e importantes:
  • \alpha=0,05.
  • n=12.
  • A hipótese alternativa é unilateral à esquerda ( \sigma^{2} menor), portanto a região de rejeição fica na cauda esquerda da distribuição do qui‑quadrado.
  • Não foram fornecidos dados amostrais (somente se pede o valor crítico), então vamos achar o quantil apropriado da distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Definimos o estatístico de teste e explico o que cada símbolo significa:
\chi_{0}^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}
onde:
  • n é o tamanho da amostra ( n=12),
  • S^{2} é a variância amostral (estimador de \sigma^{2}),
  • \sigma_{0}^{2} é o valor hipotético sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=5).
    Sob H_{0}, \chi_{0}^{2} tem distribuição qui‑quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Calculamos os graus de liberdade:
\nu = n-1 = 12-1 = 11.
Como a hipótese alternativa é \sigma^{2}<5, a regra de rejeição é:
rejeitar H_{0} se \chi_{0}^{2} for suficientemente pequeno, isto é se
\chi_{0}^{2} \le c,
onde c é o quantil que satisfaz P(\Chi^{2}_{\nu}\le c)=\alpha. Aqui procuramos o quantil de ordem \alpha=0,05 da \Chi^{2} com \nu=11.

Passo 4

Buscando na tabela da distribuição qui‑quadrado (ou usando uma função estatística), o quinto percentil para \nu=11 é
c=\chi^{2}_{0,05;11}=4,575.
(Informo que peguei esse valor da tabela qui‑quadrado padrão para o percentil 0{,}05 com 11 graus de liberdade.)

Passo 5

Interpretação prática: a região de rejeição é
\chi_{0}^{2} \le 4,575.
Se quiser transformar essa condição para um limite em S^{2}, basta inverter a definição do estatístico:
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}} \le 4,575
S^{2} \le \frac{\sigma_{0}^{2}\cdot 4,575}{n-1} = \frac{5\cdot 4,575}{11} = 2,0795.
Ou seja, no exame prático: se a variância amostral S^{2} for menor ou igual a 2,0795, você rejeita H_{0} ao nível 5\%.

Resposta

\chi_{0}^{2} crítico: \chi^{2}_{0,05;11}=4,575 (região de rejeição: \chi_{0}^{2}\le 4,575).

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