Consider the unit-step response of a unity-feedback control system whose open-loop transfer function is
G(s)=\frac{1}{s(s+1)}
Obtain the rise time, peak time, maximum overshoot, and settling time.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas listadas:
  • Dado o ganho em malha aberta G(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}.
  • É um sistema com realimentação unitária (unity-feedback).
  • A entrada é um degrau unitário (step of amplitude 1).
  • Perguntas: obter o tempo de subida (rise time), o tempo de pico (peak time), o máximo ultrapassamento (maximum overshoot) e o tempo de acomodação (settling time).
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: a função de malha aberta G(s), o tipo de realimentação (unitária) e que a entrada é um degrau unitário. A partir disso vamos obter a função de transferência em malha fechada e usar as fórmulas padrão para sistemas de segunda ordem subamortecidos.

Passo 2

Obter a função de transferência em malha fechada (closed-loop transfer function) para realimentação unitária.
Para realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada T(s) é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}.
Substituindo G(s)=\dfrac{1}{s(s+1)} obtemos
T(s)=\frac{\dfrac{1}{s(s+1)}}{1+\dfrac{1}{s(s+1)}}=\frac{1}{s(s+1)+1}.
Simplificando o denominador:
s(s+1)+1 = s^2+s+1.
Portanto
T(s)=\frac{1}{s^2+s+1}.

Passo 3

Reconhecer a forma padrão de um sistema de segunda ordem e definir parâmetros naturais.
A forma padrão do denominador de um sistema de segunda ordem é
s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2,
onde
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida (natural frequency),
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (damping ratio).
Comparando com o nosso denominador \;s^2 + s + 1\; temos
2\zeta\omega_n = 1,\qquad \omega_n^2 = 1.
Daqui segue
\omega_n = 1
e
2\zeta(1)=1 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{1}{2}.
Expliquei: \omega_n mede a velocidade natural do sistema (em rad/s) e \zeta determina se o sistema é subamortecido ( \zeta<1), criticamente amortecido ( \zeta=1) ou superamortecido ( \zeta>1). Aqui \zeta=0{,}5<1 indica resposta oscilatória amortecida (subamortecido).

Passo 4

Calcular a frequência amortecida \omega_d e o ângulo \varphi usados nas fórmulas de resposta.
A frequência de oscilação amortecida é
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Substituindo \omega_n=1 e \zeta=\tfrac{1}{2}:
\omega_d = 1\cdot\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
O ângulo \varphi (muitas fórmulas usam \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\big)) será usado no tempo de subida:
\varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Tempo de pico t_p.
Definição: o tempo de pico t_p é o instante do primeiro máximo da resposta (primeiro pico) para um sistema subamortecido. Para um sistema de segunda ordem subamortecido,
t_p=\frac{\pi}{\omega_d}.
Substituindo \omega_d=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
t_p=\frac{\pi}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.
Valor numérico:
t_p \approx \frac{2\pi}{1{,}73205}\approx 3{,}6276\\ \text{s}.

Passo 6

Máximo ultrapassamento M_p (maximum overshoot).
Definição: o máximo ultrapassamento em fração da referência (ou em %) para um segundo-ordem subamortecido é dado por
M_p = e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Substituindo \zeta=\tfrac{1}{2}:
M_p = \exp\!\left(-\frac{\pi\cdot(1/2)}{\sqrt{1-(1/2)^2}}\right) = \exp\!\left(-\frac{\pi/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \exp\!\left(-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right).
Cálculo numérico:
M_p \approx e^{-1{,}813799364} \approx 0{,}16374,
ou seja em porcentagem
M_p \approx 16{,}374\%.

Passo 7

Tempo de subida t_r.
Definição (uma das definições clássicas para sistemas subamortecidos): o tempo de subida t_r (0→100% da resposta final, primeiro instante em que a saída alcança o valor final) para um segundo-ordem subamortecido é
t_r = \frac{\pi - \varphi}{\omega_d},
onde \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta). Usando \varphi=\tfrac{\pi}{3} e \omega_d=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
t_r = \frac{\pi - \pi/3}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\pi/3}{\sqrt{3}/2} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}.
Cálculo numérico:
t_r \approx \frac{4\pi}{3\cdot1{,}73205}\approx 2{,}41799\\ \text{s}.
Observação didática: algumas referências definem t_r como tempo entre 10% e 90% da resposta, mudando ligeiramente o valor numérico; aqui usamos a definição clássica 0→100% (instante do primeiro cruzamento do valor final).

Passo 8

Tempo de acomodação t_s (settling time).
Definição e fórmula aproximada usada: para critério de 2\% (saída permanece dentro de \pm2\% do valor final), a aproximação prática para sistemas de segunda ordem é
t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}.
Substituindo \zeta=\tfrac{1}{2} e \omega_n=1:
t_s \approx \frac{4}{(1/2)\cdot 1} = 8\\ \text{s}.
Observação: para critério de 1\% costuma-se usar t_s\approx \dfrac{5}{\zeta\omega_n}, o que daria t_s\approx 10\\ \text{s}. Vou fornecer o valor usual para 2\% conforme solicitado.

Resposta

Rise time: \;t_r=\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}}\approx 2{,}418\\ \text{s}
Peak time: \;t_p=\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx 3{,}628\\ \text{s}
Maximum overshoot: \;M_p=\exp\!\big(-\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\big)\approx 0{,}1637\;(16{,}37\%)
Settling time (2%): \;t_s\approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}=8\\ \text{s}

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