Consider the unit-step response of a unity-feedback control system whose open-loop transfer function is
Obtain the rise time, peak time, maximum overshoot, and settling time.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas listadas:
- Dado o ganho em malha aberta
. - É um sistema com realimentação unitária (unity-feedback).
- A entrada é um degrau unitário (step of amplitude 1).
- Perguntas: obter o tempo de subida (rise time), o tempo de pico (peak time), o máximo ultrapassamento (maximum overshoot) e o tempo de acomodação (settling time).
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: a função de malha aberta
, o tipo de realimentação (unitária) e que a entrada é um degrau unitário. A partir disso vamos obter a função de transferência em malha fechada e usar as fórmulas padrão para sistemas de segunda ordem subamortecidos.
Passo 2
Obter a função de transferência em malha fechada (closed-loop transfer function) para realimentação unitária.
Para realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada
é
Substituindo
obtemos
Simplificando o denominador:
Portanto
Passo 3
Reconhecer a forma padrão de um sistema de segunda ordem e definir parâmetros naturais.
A forma padrão do denominador de um sistema de segunda ordem é
onde
-
é a frequência natural não amortecida (natural frequency), -
é o coeficiente de amortecimento (damping ratio).
Comparando com o nosso denominador
temos
Daqui segue
e
Expliquei:
mede a velocidade natural do sistema (em rad/s) e
determina se o sistema é subamortecido (
), criticamente amortecido (
) ou superamortecido (
). Aqui
indica resposta oscilatória amortecida (subamortecido).
Passo 4
Calcular a frequência amortecida
e o ângulo
usados nas fórmulas de resposta.
A frequência de oscilação amortecida é
Substituindo
e
:
O ângulo
(muitas fórmulas usam
) será usado no tempo de subida:
Passo 5
Tempo de pico
.
Definição: o tempo de pico
é o instante do primeiro máximo da resposta (primeiro pico) para um sistema subamortecido. Para um sistema de segunda ordem subamortecido,
Substituindo
:
Valor numérico:
Passo 6
Máximo ultrapassamento
(maximum overshoot).
Definição: o máximo ultrapassamento em fração da referência (ou em %) para um segundo-ordem subamortecido é dado por
Substituindo
:
Cálculo numérico:
ou seja em porcentagem
Passo 7
Tempo de subida
.
Definição (uma das definições clássicas para sistemas subamortecidos): o tempo de subida
(0→100% da resposta final, primeiro instante em que a saída alcança o valor final) para um segundo-ordem subamortecido é
onde
. Usando
e
:
Cálculo numérico:
Observação didática: algumas referências definem
como tempo entre 10% e 90% da resposta, mudando ligeiramente o valor numérico; aqui usamos a definição clássica 0→100% (instante do primeiro cruzamento do valor final).
Passo 8
Tempo de acomodação
(settling time).
Definição e fórmula aproximada usada: para critério de
(saída permanece dentro de
do valor final), a aproximação prática para sistemas de segunda ordem é
Substituindo
e
:
Observação: para critério de
costuma-se usar
, o que daria
. Vou fornecer o valor usual para
conforme solicitado.
Resposta
Rise time:
Peak time:
Maximum overshoot:
Settling time (2%):
Peak time:
Maximum overshoot:
Settling time (2%):