O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}.
Ou seja, preciso calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, a função de tempo f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). As informações dadas são exatamente os coeficientes do polinômio no numerador e no denominador.
Passo 2
Vou usar decomposição em frações parciais porque F(s) é uma função racional em s com grau do denominador maior que o do numerador (grau 3 no denominador e grau 1 no numerador), então podemos escrever F(s) como soma de termos mais simples cuja transformada inversa é conhecida.
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa é a forma padrão: um termo para o pólo simples em s=0 e um termo linear no numerador sobre o quadrático irreduzível s^{2}+s+1.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por s\left(s^{2}+s+1\right)\) para eliminar denominadores:
\[s+1 = A\left(s^{2}+s+1\right) + s\left(Bs+C\right).
Agora desenvolvo o lado direito:
s+1 = A s^{2} + A s + A + B s^{2} + C s.
Agrupando termos semelhantes:
s+1 = (A+B) s^{2} + (A+C) s + A.
Comparo coeficientes com o polinômio do lado esquerdo, que é 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 1. Assim obtenho o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] A + C = 1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Agora cada termo tem a forma adequada: o segundo termo tem numerador s+a com a=\tfrac{1}{2}; o terceiro termo é constante sobre o mesmo denominador e pode ser escrito em termos de b multiplicando e dividindo por b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Passo 6
Passo a aplicar as transformadas inversas termo a termo.
Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
Para o segundo termo, usando a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}: