Achar a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}.
Ou seja, preciso calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, a função de tempo f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). As informações dadas são exatamente os coeficientes do polinômio no numerador e no denominador.

Passo 2

Vou usar decomposição em frações parciais porque F(s) é uma função racional em s com grau do denominador maior que o do numerador (grau 3 no denominador e grau 1 no numerador), então podemos escrever F(s) como soma de termos mais simples cuja transformada inversa é conhecida.
Postulo a decomposição do tipo
\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+s+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa é a forma padrão: um termo para o pólo simples em s=0 e um termo linear no numerador sobre o quadrático irreduzível s^{2}+s+1.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por s\left(s^{2}+s+1\right)\) para eliminar denominadores: \[s+1 = A\left(s^{2}+s+1\right) + s\left(Bs+C\right).
Agora desenvolvo o lado direito:
s+1 = A s^{2} + A s + A + B s^{2} + C s.
Agrupando termos semelhantes:
s+1 = (A+B) s^{2} + (A+C) s + A.
Comparo coeficientes com o polinômio do lado esquerdo, que é 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 1. Assim obtenho o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] A + C = 1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
De A=1\] vem \(B=-1 e C=0.]

Passo 4

Substituindo A,B,C na decomposição obtenho
F(s)=\frac{1}{s}+\frac{-s}{s^{2}+s+1}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+s+1}.
Para inverter a segunda fração, é conveniente completar o quadrado no denominador:
s^{2}+s+1=\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Isso mostra que o denominador tem a forma (s+a)^{2}+b^{2} com
a=\tfrac{1}{2},\qquad b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Lembrando as fórmulas usuais de transformada de Laplace (para t\ge 0):
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Aqui vou ajustar o numerador para caber nessas formas.

Passo 5

Escrevo -\dfrac{s}{s^{2}+s+1} de forma a obter um termo (s+\tfrac{1}{2}) no numerador:
-\frac{s}{s^{2}+s+1} = -\frac{s+\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}+\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}.
Portanto
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}+\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}.
Agora cada termo tem a forma adequada: o segundo termo tem numerador s+a com a=\tfrac{1}{2}; o terceiro termo é constante sobre o mesmo denominador e pode ser escrito em termos de b multiplicando e dividindo por b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Passo a aplicar as transformadas inversas termo a termo.
  1. Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
  1. Para o segundo termo, usando a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right\}=e^{-t/2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).
Como o termo no F(s) é com sinal negativo, sua inversa é -e^{-t/2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).
  1. Para o terceiro termo:
\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Portanto, pela segunda fórmula de Laplace inversa,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+s+1}\right\} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-t/2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).

Passo 7

Somando as três inversas obtidas:
f(t)=1 - e^{-t/2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-t/2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).
Se quiser, dá para fatorar e^{-t/2} nos dois últimos termos:
f(t)=1 - e^{-t/2}\left[\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right].

Resposta

f(t)=1 - e^{-t/2}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-t/2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)

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