Consider the closed-loop system given by
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}
Determine the values of \zeta and \omega_{n} so that the system responds to a step input with approximately 5 \% overshoot and with a settling time of 2 sec . (Use the 2 \% criterion.)

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}
e pede para determinar \zeta e \omega_{n} de modo que a resposta ao degrau tenha aproximadamente 5\% de overshoot e tempo de acomodação (settling time) igual a 2 s, usando o critério de 2\%. Informações relevantes que temos:
\text{Overshoot desejado: }PO=5\%,
\text{Settling time (2\%): }T_s=2\\ \text{s}.
A partir daqui vamos aplicar as fórmulas padrão da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeira fórmula importante: relação entre razão de amortecimento \zeta e o overshoot percentual PO para um sistema de segunda ordem subamortecido. Para o pico percentual temos a expressão (válida quando 0<\zeta<1):
PO = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times 100\%.
Explicando essa fórmula de modo simples: a parte exponencial vem da atenuação do anel do pico da resposta oscilatória — quanto maior \zeta, mais rápida a atenuação, logo menor o overshoot. Na fórmula, \pi aparece porque consideramos a primeira oscilação (o primeiro pico) da resposta oscilatória. Aqui \zeta é a razão de amortecimento (adimensional) e aparece dentro da raiz porque a frequência amortecida é \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

Passo 3

Usamos a fórmula do passo anterior para determinar \zeta a partir de PO=5\%. Primeiro escrevemos a equação sem o \%:
e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}=0{,}05.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\ln(0{,}05).
Como \ln(0{,}05)\approx -2{,}995732274, podemos escrever
\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \approx 2{,}995732274.
Definindo
r=\frac{2{,}995732274}{\pi}\approx 0{,}953869,
temos
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=r.
Resolvendo algebricamente: elevando ao quadrado,
\frac{\zeta^{2}}{1-\zeta^{2}}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad \zeta^{2} = r^{2}(1-\zeta^{2}).
Isolando \zeta^{2}:
\zeta^{2}(1+r^{2})=r^{2}\quad\Rightarrow\quad \zeta^{2}=\frac{r^{2}}{1+r^{2}}.
Calculando numericamente com r\approx 0{,}953869:
r^{2}\approx 0{,}909868\quad\Rightarrow\quad \zeta^{2}\approx\frac{0{,}909868}{1{,}909868}\approx 0{,}476676,
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\zeta\approx\sqrt{0{,}476676}\approx 0{,}69045.
Arredondando de forma prática para usar na prova:
\zeta\approx 0{,}690.
(Eh comum decorar que um overshoot de 5\% corresponde a \zeta\approx 0{,}69.)

Passo 4

Agora usamos a relação entre tempo de acomodação (settling time) e \zeta,\omega_{n}. Para o critério de 2\% costuma-se usar a aproximação
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta \, \omega_{n}}.
Breve explicação: a envoltória do decaimento das oscilações é aproximadamente e^{-\zeta \omega_{n} t}; resolver e^{-\zeta\omega_{n}T_s}=0{,}02 dá uma expressão parecida, e convenientemente usa-se a constante 4 nessa aproximação prática para o critério de 2\%. Aqui \omega_{n} tem unidade \text{rad/s}.

Passo 5

Substituímos T_s=2 s e o \zeta que encontramos na fórmula do passo anterior para obter \omega_{n}. Começando por:
2=\frac{4}{\zeta \omega_{n}}.
Isolando \omega_{n}:
\zeta \omega_{n}=\frac{4}{2}=2\quad\Rightarrow\quad \omega_{n}=\frac{2}{\zeta}.
Usando \zeta\approx 0{,}69045,
\omega_{n}\approx\frac{2}{0{,}69045}\approx 2{,}898.
Arredondando de modo prático para a prova:
\omega_{n}\approx 2{,}90\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Resumo rápido e checagem mental (pra te deixar confiante): com \zeta\approx 0{,}69 o overshoot previsto pela fórmula do passo 2 fica aproximadamente 5\%; com \omega_{n}\approx 2{,}90\\ \text{rad/s} e esse \zeta a fórmula do passo 4 dá T_s\approx 2 s. Então os valores são consistentes com as especificações pedidas.

Resposta

\zeta \approx 0{,}690
\omega_{n} \approx 2{,}90\\ \text{rad/s}

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