Consider the closed-loop system given by
Determine the values of
and
so that the system responds to a step input with approximately
overshoot and with a settling time of 2 sec . (Use the
criterion.)
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha fechada
e pede para determinar
e
de modo que a resposta ao degrau tenha aproximadamente
de overshoot e tempo de acomodação (settling time) igual a
s, usando o critério de
. Informações relevantes que temos:
A partir daqui vamos aplicar as fórmulas padrão da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeira fórmula importante: relação entre razão de amortecimento
e o overshoot percentual
para um sistema de segunda ordem subamortecido. Para o pico percentual temos a expressão (válida quando
):
Explicando essa fórmula de modo simples: a parte exponencial vem da atenuação do anel do pico da resposta oscilatória — quanto maior
, mais rápida a atenuação, logo menor o overshoot. Na fórmula,
aparece porque consideramos a primeira oscilação (o primeiro pico) da resposta oscilatória. Aqui
é a razão de amortecimento (adimensional) e aparece dentro da raiz porque a frequência amortecida é
.
Passo 3
Usamos a fórmula do passo anterior para determinar
a partir de
. Primeiro escrevemos a equação sem o
:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, podemos escrever
Definindo
temos
Resolvendo algebricamente: elevando ao quadrado,
Isolando
:
Calculando numericamente com
:
logo
Arredondando de forma prática para usar na prova:
(Eh comum decorar que um overshoot de
corresponde a
.)
Passo 4
Agora usamos a relação entre tempo de acomodação (settling time) e
. Para o critério de
costuma-se usar a aproximação
Breve explicação: a envoltória do decaimento das oscilações é aproximadamente
; resolver
dá uma expressão parecida, e convenientemente usa-se a constante
nessa aproximação prática para o critério de
. Aqui
tem unidade
.
Passo 5
Substituímos
s e o
que encontramos na fórmula do passo anterior para obter
. Começando por:
Isolando
:
Usando
,
Arredondando de modo prático para a prova:
Passo 6
Resumo rápido e checagem mental (pra te deixar confiante): com
o overshoot previsto pela fórmula do passo 2 fica aproximadamente
; com
e esse
a fórmula do passo 4 dá
s. Então os valores são consistentes com as especificações pedidas.