Consider the unity-feedback system of Figure P9.1 with
The system is operating at
overshoot. Design a compensator to decrease the settling time by a factor of 2 without affecting the percent overshoot and do the following:
Evaluate the compensated system’s dominant poles and settling time.
Evaluate the compensated system’s dominant poles and settling time.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de realimentação unitária cujo ganho em malha direta é
O sistema está operando com
de overshoot. A tarefa é projetar um compensador que reduza o tempo de assentamento por um fator
sem alterar o percent overshoot, e então avaliar os polos dominantes do sistema compensado e o novo tempo de assentamento.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro precisamos achar o coeficiente de amortecimento
correspondente a
. A relação entre percent overshoot e
(para resposta do segundo-ordem) é
Substituindo
e resolvendo para
:
Calculando numericamente:
Elevando ao quadrado e resolvendo:
Comentário curto: isso significa que, para manter
, o par dominante de polos deve ter amortecimento
.
Passo 3
A relação usada para tempo de assentamento (critério dos
) é
onde
é a frequência natural do par dominante e
o amortecimento. Para reduzir
pela metade sem alterar
precisamos dobrar
:
Logo o novo par de polos deve ficar na mesma linha de amortecimento (mesmo ângulo) mas a uma distância do eixo imaginário duas vezes maior:
.
Passo 4
Agora vamos encontrar os polos dominantes atuais do sistema sem compensador (e, daí,
). A equação característica em malha fechada é
Procuramos o ponto do lugar das raízes correspondente ao amortecimento
encontrado. Parametrizamos um polo complexo desejado por
Chamando
(fixo pelo
encontrado), temos
Substituindo na equação característica e exigindo que a parte imaginária seja zero (já que
é real), obtemos a equação (após dividir por
):
Agora calculos numéricos (com
):
Computei:
Substituindo:
Multiplicando por
:
Resolvendo a quadrática (usar fórmula de Bhaskara) dá a raiz positiva
Com isso os polos dominantes atuais são
O tempo de assentamento atual (2%) é
Passo 5
Queremos
, logo
Os polos desejados (mesmo
, mesma “direção” no plano
) são
Passo 6
Agora projetamos um compensador do tipo avanço (lead)
de modo que o ponto
esteja no lugar das raízes de malha fechada de
. Usamos o critério de fase: para
pertencer ao lugar das raízes devemos ter
Aqui tomo
e incorporo todo ganho em
.
Calculo do ângulo atual (sem compensador) em
. Para
:
Soma dos ângulos das polos:
.
Logo o ângulo de é
(módulo
). Para satisfazer a condição de fase até
precisamos que o compensador forneça aproximadamente
Logo o ângulo de
Ou seja, o compensador deve fornecer cerca de
de avanço de fase no ponto
.
Passo 7
Vou escolher um zero do compensador de forma simples e conveniente e determinar o polo do compensador para obter a fase desejada no ponto
. Escolho
(um número simples, razoavelmente à esquerda do eixo imaginário). Então exijo
Escrevendo
e usando a definição de
para componentes reais positivas, obtemos
Numericamente:
portanto
Daí
Calculando:
Logo escolhemos o compensador com zero e polo em
Passo 8
Agora determinamos o ganho
do compensador impondo a condição de magnitude:
Isto é,
Cálculos numéricos em
:
Portanto
e
Logo
Portanto o compensador projetado é
Passo 9
Verificação rápida de fase no ponto
:
e como visto antes
, a soma
. Assim
realmente pertence ao lugar das raízes da malha com o compensador projetado (confirmando que o par dominante será
).
Passo 10
Calculamos finalmente o novo tempo de assentamento usando
e
:
o que é metade de
, conforme solicitado.
Resumo numérico final (para conferência):