Consider the unity-feedback system of Figure P9.1 with
G(s)=\frac{K}{s(s+20)(s+40)}
The system is operating at 20 \% overshoot. Design a compensator to decrease the settling time by a factor of 2 without affecting the percent overshoot and do the following:
Evaluate the compensated system’s dominant poles and settling time.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de realimentação unitária cujo ganho em malha direta é
G(s)=\frac{K}{s(s+20)(s+40)}
O sistema está operando com 20\% de overshoot. A tarefa é projetar um compensador que reduza o tempo de assentamento por um fator 2 sem alterar o percent overshoot, e então avaliar os polos dominantes do sistema compensado e o novo tempo de assentamento.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Planta: }\; G(s)=\dfrac{K}{s(s+20)(s+40)}\\\ &\text{Percent overshoot: }\; PO=20\%=0,20\\\ &\text{Desejo: reduzir }T_s\text{ pela metade mantendo }PO\text{ (logo manter }\zeta\text{)} \end{aligned}

Passo 2

Primeiro precisamos achar o coeficiente de amortecimento \zeta correspondente a PO=20\%. A relação entre percent overshoot e \zeta (para resposta do segundo-ordem) é
PO = e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Substituindo PO=0,20 e resolvendo para \zeta:
\ln(0,20) = -\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}.
Calculando numericamente:
\ln(0,20)\approx -1,60944 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} = \dfrac{1,60944}{\pi}\approx 0,5123.
Elevando ao quadrado e resolvendo:
\zeta^2 = \frac{0,5123^2}{1+0,5123^2}\approx 0,2079
\Rightarrow \zeta \approx 0,4559.
Comentário curto: isso significa que, para manter PO=20\%, o par dominante de polos deve ter amortecimento \zeta\approx 0,4559.

Passo 3

A relação usada para tempo de assentamento (critério dos 2\%) é
T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n},
onde \omega_n é a frequência natural do par dominante e \zeta o amortecimento. Para reduzir T_s pela metade sem alterar \zeta precisamos dobrar \omega_n:
T_{s,new} = \frac{4}{\zeta \omega_{n,new}}=\frac{1}{2}\frac{4}{\zeta \omega_{n,old}} \quad\Rightarrow\quad \omega_{n,new}=2\omega_{n,old}.
Logo o novo par de polos deve ficar na mesma linha de amortecimento (mesmo ângulo) mas a uma distância do eixo imaginário duas vezes maior: s_{new}=2\,s_{old}.

Passo 4

Agora vamos encontrar os polos dominantes atuais do sistema sem compensador (e, daí, \omega_{n,old}). A equação característica em malha fechada é
1+G(s)=0\quad\Rightarrow\quad s(s+20)(s+40)+K=0.
Procuramos o ponto do lugar das raízes correspondente ao amortecimento \zeta encontrado. Parametrizamos um polo complexo desejado por
s=\omega_n(-\zeta + j\sqrt{1-\zeta^2}).
Chamando z=-\zeta + j\sqrt{1-\zeta^2} (fixo pelo \zeta encontrado), temos
s=\omega_n z,\quad s^2=\omega_n^2 z^2,\quad s^3=\omega_n^3 z^3.
Substituindo na equação característica e exigindo que a parte imaginária seja zero (já que K é real), obtemos a equação (após dividir por \omega_n):
\omega_n^2\Im(z^3)+60\omega_n\Im(z^2)+800\Im(z)=0.
Agora calculos numéricos (com \zeta\approx 0,4559):
z=-0,4559 + j0,8900.
Computei:
\Im(z)=0,8900,\quad \Im(z^2)\approx -0,8115,\quad \Im(z^3)\approx -0,1499.
Substituindo:
-0,1499\,\omega_n^2 -48,69\,\omega_n +712 = 0.
Multiplicando por -1:
0,1499\,\omega_n^2 +48,69\,\omega_n -712 = 0.
Resolvendo a quadrática (usar fórmula de Bhaskara) dá a raiz positiva
\omega_{n,old}\approx 13,94\\ \text{(rad/s)}.
Com isso os polos dominantes atuais são
s_{old}=\omega_{n,old}\,z \approx 13,94(-0,4559 + j0,8900)\approx -6,36 \pm j12,41.
O tempo de assentamento atual (2%) é
T_{s,old}=\frac{4}{\zeta\omega_{n,old}}=\frac{4}{0,4559\cdot13,94}\approx 0,629\\ \text{s}.

Passo 5

Queremos \omega_{n,new}=2\omega_{n,old}, logo
\omega_{n,new}=2\cdot13,94\approx 27,88\\ \text{(rad/s)}.
Os polos desejados (mesmo \zeta, mesma “direção” no plano s) são
s_{new}=\omega_{n,new}(-\zeta\pm j\sqrt{1-\zeta^2}) \approx -12,72 \pm j24,82.

Passo 6

Agora projetamos um compensador do tipo avanço (lead)
C(s)=K_c\frac{s+z_c}{s+p_c}\quad\text{com }0<z_c<p_c,
de modo que o ponto s_{new} esteja no lugar das raízes de malha fechada de C(s)G_{planta}(s). Usamos o critério de fase: para s_{new} pertencer ao lugar das raízes devemos ter
\angle C(s_{new})+\angle G_{planta}(s_{new}) = (2k+1)180^\circ.
Aqui tomo G_{planta}(s)=\dfrac{1}{s(s+20)(s+40)} e incorporo todo ganho em K_c.
Calculo do ângulo atual (sem compensador) em s_{new}. Para s_{new}=-12,72+j24,82:
\begin{aligned} \angle s &\approx \atan2(24,82,-12,72)\approx 116,4^\circ,\\\ \angle (s+20) &\approx \atan2(24,82,7,28)\approx 73,8^\circ,\\\ \angle (s+40) &\approx \atan2(24,82,27,28)\approx 42,9^\circ. \end{aligned}
Soma dos ângulos das polos: 116,4^\circ+73,8^\circ+42,9^\circ\approx 233,1^\circ.
Logo o ângulo de G_{planta}(s_{new}) é -233,1^\circ\equiv 126,9^\circ (módulo 360^\circ). Para satisfazer a condição de fase até -180^\circ precisamos que o compensador forneça aproximadamente
\phi_{req} = 180^\circ - 126,9^\circ \approx 53,1^\circ.
Ou seja, o compensador deve fornecer cerca de 53^\circ de avanço de fase no ponto s_{new}.

Passo 7

Vou escolher um zero do compensador de forma simples e conveniente e determinar o polo do compensador para obter a fase desejada no ponto s_{new}. Escolho z_c=8 (um número simples, razoavelmente à esquerda do eixo imaginário). Então exijo
\angle(s_{new}+z_c)-\angle(s_{new}+p_c)=\phi_{req}\approx 53,1^\circ.
Escrevendo \angle(s_{new}+p_c)=\angle(s_{new}+z_c)-\phi_{req} e usando a definição de \atan para componentes reais positivas, obtemos
\atan\!\left(\frac{\Im(s_{new})}{p_c-\Re(s_{new})}\right) = \angle(s_{new}+z_c)-\phi_{req}.
Numericamente:
\angle(s_{new}+z_c)=\angle(-4,72 + j24,82)=100,8^\circ
portanto
\angle(s_{new}+p_c)=100,8^\circ - 53,1^\circ = 47,7^\circ.
Daí
\tan(47,7^\circ)=\frac{24,82}{p_c-(-12,72)}=\frac{24,82}{p_c+12,72}.
Calculando:
\tan(47,7^\circ)\approx 1,09 \quad\Rightarrow\quad p_c+12,72=\frac{24,82}{1,09}\approx 22,78
\Rightarrow\quad p_c\approx 22,78-12,72\approx 35,50.
Logo escolhemos o compensador com zero e polo em
z_c\approx 8,\qquad p_c\approx 35,5.

Passo 8

Agora determinamos o ganho K_c do compensador impondo a condição de magnitude:
|C(s_{new})G_{planta}(s_{new})|=1.
Isto é,
K_c\cdot\frac{|s_{new}+z_c|}{|s_{new}+p_c|}\cdot\frac{1}{|s_{new}||s_{new}+20||s_{new}+40|}=1
\Rightarrow K_c = |s_{new}||s_{new}+20||s_{new}+40|\cdot\frac{|s_{new}+p_c|}{|s_{new}+z_c|}.
Cálculos numéricos em s_{new}=-12,72+j24,82:
\begin{aligned} |s_{new}| &\approx 27,88,\\\ |s_{new}+20| &\approx 25,87,\\\ |s_{new}+40| &\approx 36,89,\\\ |s_{new}+z_c| &\approx 25,27,\\\ |s_{new}+p_c| &\approx 33,71. \end{aligned}
Portanto
|s_{new}||s_{new}+20||s_{new}+40|\approx 27,88\cdot25,87\cdot36,89\approx 26616,7
e
\frac{|s_{new}+p_c|}{|s_{new}+z_c|}\approx\frac{33,71}{25,27}\approx 1,333.
Logo
K_c \approx 26616,7\cdot1,333\approx 35488.
Portanto o compensador projetado é
C(s)\approx 35488\cdot\frac{s+8}{s+35,5}.

Passo 9

Verificação rápida de fase no ponto s_{new}:
\angle C(s_{new})\approx \angle(s_{new}+8)-\angle(s_{new}+35,5)\approx 100,8^\circ-47,7^\circ\approx 53,1^\circ,
e como visto antes \angle G_{planta}(s_{new})\equiv 126,9^\circ, a soma \approx 180^\circ. Assim s_{new} realmente pertence ao lugar das raízes da malha com o compensador projetado (confirmando que o par dominante será s_{new}).

Passo 10

Calculamos finalmente o novo tempo de assentamento usando \omega_{n,new}=27,88 e \zeta=0,4559:
T_{s,new}=\frac{4}{\zeta\omega_{n,new}}=\frac{4}{0,4559\cdot27,88}\approx 0,315\\ \text{s},
o que é metade de T_{s,old}\approx 0,629\\ \text{s}, conforme solicitado.
Resumo numérico final (para conferência):
\begin{aligned} &s_{dominantes\;compensado}\approx -12,72\pm j24,82,\\\ &T_{s,compensado}\approx 0,315\\ \text{s}. \end{aligned}

Resposta

s_{dominantes} = -12,72 \pm j24,82
T_s = 0,315\\ \text{s}

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